文档介绍：具有多输入时滞的预测反馈控制线性系统的Lyapunov-Krasovskii 函数
关键字:渐进稳定性、李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数、预测反馈、时滞系统
摘要:本文是关于带时滞多输入线性系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的构造。通过把预测反馈控制系统转化为带外部输入的无时滞线性系统,在一系列线性矩阵不等式的条件下构造李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。一系列线性矩阵不等式的可解性等价于从预测反馈控制系统导出的无时滞线性系统的渐进稳定性。提出的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数也被证实为预测反馈控制系统的输入状态稳定(ISS)的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。通过计算一个实例来证实所提方法的有效性。

具有时滞的动态系统得到越来越多的关注,因为时滞系统在实践工程中有许多的应用,例如网络控制系统,化学过程控制,人口模型举例(可见,参考,[3,24,31,34]及其内部参考)。因为时滞系统的的稳定性和稳定性实现在理论和实践中非常重要,相当多的研究工作在其上展开并且在文献中许多相关的成果已经取得(可见[5,6,11,15,21,23,28,40]及其内部参考)。然而在时滞系统的稳定性分析与稳定性实现中仍有许多未解决的问题由于其无限空间的特性。
在现有关于时滞系统的稳定性和稳定性实现的成果中,大部分是关于状态延迟的线性系统(可见,参考,[10,19,30,38]),然而相对少的成果适用于输入时滞的线性系统控制问题(参考[33,42])。为了处理输入时滞的控制系统的稳定性实现,基本上有两种有效的设计方法,也就是预测反馈的记忆控制器设计和采用无时滞系统的无记忆控制器设计。无记忆控制器已经许多研究者所使用,例如,[4,12]。这种方法的优点就是它们很容易实现。然而,这种方法在延迟很大的情况下就不适用了。相反,由梅恩发现的预测反馈可以允许任意大的输入延迟。这种方法的基本思想是把时滞系统转换为等价的非时滞系统且任何常规设计方法对此都是适用的。这种方法在文献中已被广泛研究且在近几年又得到了广泛关注(可见,参考,[1,25,41])。
在时滞系统的稳定性分析中,李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数是最重要的方法之一。许多关于时滞系统稳定性和稳定性实现的成果都可以运用李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数推出(可见[22,39]及其内部参考)。为分析单输入时变时滞线性预测反馈控制系统的指数函数稳定性,一个时变李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被构建出来了基于偏微分方程的反演法在文献[13]中。通过运用激励状态的变形,带有分散输入延迟的线性预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数在[2]中被得出。带有逐点的,分散的输入延迟线性系统在[27]中被考虑并且由Pepe和Jiang[29]定义的输入状态稳定的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被构建出来了针对带有逐点的,分散的输入延迟线性系统。提出的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数在闭环时滞系统输入状态稳定的性质分析很有帮助。在最近几年,许多高级的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数已经被构建出来了,用于分析和设计许多带时滞的复杂动态系统,例如,带时变延迟的神经网络耗散分析[18],带有间隔性时变延迟的静态神经网络稳定性分析[17], 关于重叠区域带有两个延迟的线性系统稳定性分析[14],和带有时变延迟的神经网络稳定性分析。关于更多相关的文章,可见[7,8,20,35-37]及其内部参考。
在这篇文章中,我们将通过构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数来研究带有多输入延迟的线性系统指数函数稳定性。为了达到这个目的,首先我们将带有预测反馈的闭环时滞系统转变为等价的无时滞系统。然后,基于无时滞线性系统,在一系列线性矩阵不等式的求解后保证原时滞系统指数函数稳定性的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被提出来了。同时也证明假若时滞线性系统渐进稳定则一系列线性矩阵不等式是可解的。同时,我们也证实得到的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数也是对于预测反馈控制系统的输入状态稳定(ISS)李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。一个数值例子被解出来证实所提方法的有效性。所提方法的优点就是构造李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数不需要像文献[13]中那样运用偏微分方程的反演法且仅仅基于用现有软件包求解一些线性矩阵不等式就可有效的解出来。
文章的余下部分组织如下。问题的陈述及一些基本的结果,包括指数函数稳定性的定义,预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数及一些有用的引理,在第2部分给出。第3部分包含了这篇文章的主要结果。一个数值例子被计算出在第4部分中用来指出如何计算预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。最后,第5部分总结这篇文章。
注释:对于任意给定的矩阵,我们分别用和来表示它的转置和特征值集(当A是方阵的时候)。对一个正定矩阵P,标记和分别表示它的最小