文档介绍：P167一、填空7函数3二一,将Z平面的图形:以原点为中心,R为半径的圆,变为3平面的图形:[JR答案:以原点为屮心的单位圆:z=、多值而言,函数sinVz是[]:单P168五•试将函数7(z)=1(z-4)(z-3)以z=:f(z)=(z-3)(z-4)亍-百在复平面内有两个孤立奇点“3和z=4,|z-2|<K环域l<|z-2|<2和圆外区域|z-2|>2内均解析,我们能在这些区域中分别将函数展开为Taylor或Laurent级数。1°在|z-2|<冲1 17^3~(Z-3)-1 l-(z-2)=-Z(z-2)“01_]_111^4-(z-2)-2~~2t z-2所以加=士-士喀(i-歩)(z-»这是一Taylor展开。2°在l<|z-2|<2中而」一的展开式同2式,故有心-診(“2)违占这是一具在正、负幕的Laurent展开。3°在|z-2|〉2中1_]_11z—4(z—2)—2z—2| 2z-28A=02a(z-2fooR=11(^2)而士的展开式同时3式,故有f(z)=X2^k=\这是一仅具有负幕的Laurent展开。P168一填空和选折填空]值函数•其支点是[ ]+1)+“_4是【答案:6; 0,—1,2,—2,•己知一解析函数/(z)的虚部为兀+y,则该解析函数为/(z)=L答案:(1+Oz+ZC4•函数/(z)以b为屮心的Laurent展开的系数公式为[答案:(z2)+2Lnz;—Lnz=O;5由对数函数的定义有[](Z]•Z2)=Lnz,+Lnz2;(Z]/z2)=LnZ]—Lnz?;答案:A,CP169四、试将函数/仗)=丄按下列要求展开成幕级数,+1在/(Z)的孤立奇点的去心邻域展开;以z=:1./⑵二丄仅有唯一的独立奇点:z=-1,于是在孤立奇点的去心邻域z+10<|z+l|<oo中的展开式即为:z+1这是i仅具有负一次幕的Laurent级数2•由于奇点z=-1与展开屮心z=啲距离为故以z=i为屮心能在如下的两个区域屮展开:1°在中f(z\= = = z+1 (z-z)+l+zl+z1+z-z1+°在|z-1|> 求解定解问题2u.=auxx^<x<7r^t>0w(x,0)=3sinx,仏(兀,0)=0解:对照有界眩的自由振动,此处1=兀,(p(x)=3sin兀,0(兀)=()〜(),有故由三角函数的正交性有4三0(心1),A=:L3silfGdG=3/C而Bn= 0•sinncidci=0ruia故该定解问题的解为u{)=3cosmsinx实际上在用分离变量法求解定解问题时,若初始条件本身己是Fourier级数的展开式的形式,则大可不必再用系数公式求积分去算系数,这只会自找麻烦。由于Fourier展开的唯一性,对于此种情况,只要将形式解代入初始条件