文档介绍：第18章状态变量法
状态变量和状态方程
状态方程的列写
状态方程的时域解析解法
本章重点
状态方程的拉普拉斯变换法求解
本章重点
状态方程的求解
状态方程的建立
返回目录
状态变量和状态方程
一、状态变量(state variable)[x]
分析动态过程的独立变量。
选定系统中一组最少数量的变量[x]=[x1 ,x2 ,…,xn]T ,
如果当 t = t0 时这组变量[x(t0)]和 t t0 后的输入(激励)[e(t)]为已知,就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。
[x(t0)]
[e(t)] t t0
称这一组最少数目的变量为状态变量。
[y(t)] t t0
确定
说明:[x]表示状态变量的列向量。为区分符号,以下用[·]表示向量或矩阵。
已知
输出变量: uL , iC , uR , iR 。
选 uC , iL 为状态变量。
解由
uL(0) = 7V
iC(0) = -
iR(0) =
uR(0) = 3V
例
R
uL
C
e(t)
+
-
uC
iL
iC
uR
+
-
+
-
+
-
L
iR
2
推广至任一时刻 t1
uL(t1)=e(t1)-uC(t1)
uR(t1)= uC(t1)
iC(t1)= iL(t1)- uC(t1)/R
iR(t1)= uC(t1)/R
可由
可见当 t = t1 时 uC , iL 和 t t1 后的输入e(t)为已
知,就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。
问题:如何求出 t1时刻的状态变量。
二、状态方程(state equation)
求解状态变量的方程。
设选 uC , iL 为状态变量
列微分方程
改写为
L
R
C
e(t)
+
-
uC
iL
+
-
iC
+
-
uL
称为状态方程。
矩阵形式
[x]=[x1 x2 xn]T
式中
一般形式
\
nn
\
nr
状态方程的特点:
(1) 是一阶微分方程组;
(2) 左端为状态变量的一阶导数;
(3) 右端仅含状态变量和输入量。
n1
r1
三、输出方程(output equation)
特点: (1) 代数方程;
(2) 用状态变量和输入量表示输出量。
一般形式
[Y(t)] = [C ][X(t)] +[D][v(t)]
uL=e(t)-uC(t)
uR(t)= uC(t)
iC(t)= iL(t)- uC(t)/R
iR(t)= uC(t)/R
R
uL
C
e(t)
+
-
uC
iL
iC
uR
+
-
+
-
+
-
L
iR
返回目录
状态方程的列写
一、直观法
选 uC , i1 , i2为状态变量。
对包含电容的节点列KCL
(duC/dt)
R1
- +
uS
C
uC
iS
R2
i2
L2
L1
-
+
i1
例1 列写图示电路的状态方程。
分析:
对包含电感回路列KVL( diL/dt)
整理成矩阵形式,得状态方程如下: