文档介绍：集合与简易逻辑
一、集合:
1、知识点归纳
①定义:一组对象的全体形成一个集合
②特征:确定性、互异性、无序性
③表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图
④分类:有限集、无限集、空集φ
⑤数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ
⑥关系:属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=
⑦运算:交运算A∩B={x|x∈A且x∈B};并运算A∪B={x|x∈A或x∈B};
补运算={x|xA且x∈U},U为全集
⑧性质:AA; φA; 若AB,BC,则AC;
A∩A=A∪A=A; A∩φ=φ;A∪φ=A;
A∩B=AA∪B=BAB;
A∩CA=φ; A∪CA=I;C ( CA)=A;
C (AB)=(CA)∩(CB)
方法: 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决
2、注意:
①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
② AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是
④空集是指不含任何元素的集合、和的区别;0与三者间的关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况
⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是函数值的取值?还是曲线上的点?可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义
海伦·凯勒:“当一个人感觉到有高飞的冲动时,他将再也不会满足于在地上爬。”
二、含绝对值的不等式及一元二次不等式
知识点归纳
1绝对值不等式①不等式的解集是;②不等式的解集是
③不等式|ax+b|<c, c>0的解集为;
④不等式|ax+b|>c c>0的解集为
⑤两边都为非负数(或式)时,可两边平方
⑥含有多个绝对值不等式时,可用零点分段法
⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
、一元二次或者高次不等式来处理。注意分母不为零的情况。
“序轴标根法”
→函数草图→观察得解,对于a<0的情况可以化为a>0情况解决
注意:含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax+bx+c>0的解集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a<0 a>0三种情况
不等式的无解有解恒成立问题:①a<f(x) 恒成立 a<f(x)mix②a>f(x) 恒成立 a>f(x)max
另:二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程的两根为
实根的正负问题:a≠0
①两个正根,则需满足,
②两个负根,则需满足,
③一正根和一负根,则需满足
则:
此外根的分布以a〉0为例
根的情况
只需条件
根的情况
只需条件
三、简易逻辑
1、知识点归纳
①命题可以判断真假的语句;
②逻辑联结词或、且、非;
③简单命题不含逻辑联结词的命题;
④复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
⑤三种形式 p或q、p且q、非p
⑥真假判断 p或q,同假为假,否则为真;
p且q,同真为真, 否则为假;
非p,真假相反
⑦四种命题:原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若p则q;逆否命题若q则p;三种关系:互为逆命题,互为否命题,互为逆否关系命题,互为逆否的两个命题是等价的
⑧反证法步骤假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。
反证法适用与待证命题:当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立,
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
⑨充要条件条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充分条件,
结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q的必要条件,
条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充要条件,
要求: 1当判断一个命题的真假有困难时,可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假
2判断复合的真假关键是对“或”的正确理解
正面词语
等于
大于
小于
否定
不等于
小于或等于
大于或等于
正面词语
是
都是
且
否定
不是
不都是
或
注意:“非P”和“P的否命题”是不同的,“非P”只否定命题的结论,“P的否命题”则是分别否定命题的条件和结论;如P:两直线平