文档介绍：实变函数与泛函分析基础课件4-3可测函数简单函数是可测函数。可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?可测集E上的连续函数为可测函数。鲁津定理实变函数的三条原理()(1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并)。设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则使得m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。(去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数)即:可测函数“基本上”是连续函数.(2)任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。(3)任一可测函数差不多就是连续函数。引理:证明:由于mE[|f|=+∞]=0,故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时,当x∈Ei时,f(x)=ci,所以f(x)在Fi上连续,而Fi为两两不交闭集,故f(x)在上连续,显然F为闭集,且有设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则使得m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。鲁津定理(Lusin)(2)当f(x)为有界可测函数时,存在简单函数列{φn(x)}在E上一致收敛于f(x),由{φn(x)}在F连续及一致收敛于f(x),易知f(x)在闭集F上连续。利用(1)的结果知则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得:(3)当f(x)为一般可测函数时,作变换g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则使得m(E-F)<ε且g(x)在F上连续。故,f(x)在F上为连续函数。注1:鲁津定理另外一种形式:若f(x)为上几乎处处有限的可测函数,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε,且sup{g(x)|x∈R}=sup{f(x)|x∈F};inf{g(x)|x∈R}=inf{f(x)|x∈F};(对n维空间也成立)【分】由鲁津定理:则及R上的连续函数g(x)则且f(x)在F上连续。下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。若f(x)为上几乎处处有限可测,aibi由于FC为R上的开集,根据R上开集构造,FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并:。biai则g(x)满足要求,且在R上连续.(参见课本p91)