利用旋转巧解几何题.doc

文档介绍：利用旋转巧解几何题付德生将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转,由旋转的性质可知旋转前后的图形全等,对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角,利用其性质可以解一些几何题,对同学们在解此类问题时有所帮助,下面举例说明。一、旋转在解三角形中的应用例1如图1所示,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长。图1分析:PA、PB、PC比较分散,可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中,为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。解:把△BPA绕B点逆时针方向旋转60°得到△BHC。因为BP=BH,∠PBH=60°所以△BPH是等边三角形所以∠BPH=60°,所以BP=PH又因为HC=PA=2,PC=4所以所以△HCP是Rt△,所以∠CHP=90°又因为HC=2,PC=4所以∠HPC=30°又因为∠BPH=60°,所以∠CPB=90°在Rt△BPC中,=12+16=28,那么△ABC的边长为。例2如图2,O是等边三角形ABC内一点,已知:∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少?图2解:可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。因为BO=BM,∠MBO=60°所以△BOM是等边三角形,所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°,所以∠MOA=55°又因为∠AMB=∠COB=125°所以∠AMO=65°又因为AM=OC,MO=BO所以△AMO正好是以AO、OC、BO为边组成的三角形,所以∠MAO=180°-(55°+65°)=180°-120°=60°即:以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。二、旋转在正方形中的运用例3如图3,将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动,另一个绕点B顺时针旋转一个角度,若使重叠部分面积为,则这个旋转的角度为多少?图3解:连结BH。由旋转可知,Rt△又因为所以又BC=2,所以由勾股定理得在Rt△BCH中,,所以∠HBC=30°所以∠=60°,∠=30°,所以这个旋转角为30°。例4如图4,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合,若PB=3,求的长。图4分析:将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合,实际上就是把△ABP顺时针方向旋转90°可得,即90°。解:因为°,所以。例5如图5,P为正方形ABCD内