文档介绍：向量在平面几何中解题的应用
一、向量有关知识复****br/>(1)向量共线的充要条件:
与共线
(2)向量垂直的充要条件:
(3)两向量相等充要条件:
且方向相同。
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例一、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析:要证∠ACB=90°,只须证向
量,即。
解:设
则,
由此可得:
即,∠ACB=90°
思考:能否用向量坐标形式证明?
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知:平行四边形ABCD。
求证:
解:设,则
分析:因为平行四边形对边平行且相
等,故设其它线段对应向
量用它们表示。
∴
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证:AD、BE、CF交于一点
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
H
分析:
思路一:设AD与BE交于H,只要证
CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF
过点H
只须证
由此可设
如何证?
利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证:AD、BE、CF交于一点
A
B
C
D
E
H
解:设AD与BE交于H,
即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例一、已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高
求证:AD、BE、CF交于一点
H
F
A
B
C
D
E
分析:如图建立坐标系,
设A(0,a) B(b,0) C(c,0)
只要求出点H、F的坐标,
就可求出、的坐
标进而确定两向量共线,即三点共线。
再设H(0,m) F(x,y)
由A、B、F共线;CF⊥AB对应向量共线及垂直解得:
可得:
可得:
即而CF、CH有公共点C,所以
C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N,
在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q,
使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线
A
B
C
N
M
Q
P
解:设
则
由此可得
即故有,且它们有
公共点A,所以P、A、Q三点共线
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,
使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起,
使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
解:如图建立坐标系,设E(e,0),由
正方形面积为64,可得边长为8
由题意可得M(8,4),N是AM的
中点,故N(4,2)
=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)
解得:e=5 即AE=5