文档介绍：高数-、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N定义)。从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]:设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式:那么常数A就叫做函数f(x) 当x→x0时的极限,记作。[2]单侧极限:.左极限:或.右极限:或定理:函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即。极限概念函数极限可以分成以的极限为例,f(x)在点x0以A为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式时,对应的函数值f(x)都满足不等式:|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则Ⅰ.如果数列,及满足以下条件:从某项起,即,当时,有;;,那么数列的极限存在,且准则Ⅰ'如果(1)当(或)时,(2),,那么存在,且等于。夹逼定理:(1)当时,有  成立(2) ,那么,极限存在,且等于A【准则Ⅰ,准则Ⅰ´合称夹逼定理】准则Ⅱ:单调有界数列必有极限准则Ⅱ':设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界,则在的左(右)极限必定存在[3]单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。柯西准则:数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时,有成立。[2]极限运算相关法则、、β为同一极限过程下的无穷小(无穷小).穷小之积为无穷小(无穷小)推论:.常数与无穷小之积为无穷小.:设,则 若,,(复合函数求极限法则)设函数是由函数与函数复合而成,在点的某去心邻域内有定义,若,且存在,当时,有,则。两个重要极限:..即若,则常用等价无穷小:当时,,,,计算极限方法总结直接带入求极限例1.【解】(2)【说明】x→1表明x与1无限接近,但。所以x-1这一零因子可以约去。【解】(3)分子分母同除求极限(公式法)【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方(2)(4)分子(分母)【说明】分子分母有理化求极限,是通过有理化去除无理式【解】【解】【注】本题除使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。(5)应用两个重要极限求极限【说明】【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤:先凑出1,在凑,最后凑指数部分。【解】(6)用等价无穷小两代换求极限【说明】(1)常见的等价无穷小有:当x→0时,x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x)=ex-1,1-cosx=,,,。(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式;(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。【解】【解】(7)【说明】和型的极限,可通过洛必达法则来求。【解】【注】有许多变动上限的积分表示的极限,常用洛必达法则求解。,且,求极限【解】由于,于是(8)【解】【注】对于形势的未定式,