文档介绍：1、已知函数,1)若,求的值;2)若对于恒成立,求实数的取值范围。:①对任意,都有;②存在常数,使得对任意的,都有(1)设,证明:(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,:对任意,,,,所以对任意的,, , 所以0<,令=,,,所以反证法:设存在两个使得,。则由,得,所以,矛盾,故结论成立。,所以,+…。3(2008年,陕西卷)已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是(Ⅰ)求函数的另一个极值点;(Ⅱ)求函数的极大值M和极小值m,并求时k的取值范围.【分析及解】(I)∵是函数的一个极值点, ∴即得∵∴由此可知,Ock1,即,由此方程的一个根为,另一个根由韦达定理容易计算为或∴函数的另一个极值点为(或)(II)由(I)知,现画一个函数图帮助理解,∵且,则图象如图所示,∴或,当,即时,当或时,当时,上是增函数,在上是减函数,∴, 又,∴,即,解之得满足。②当,即时,当或时,当时,∴上是减函数,在上是增函数,∴,又,∴,即,解之得或,结合,∴综上可知,所求k的取值范围为【例4】(2008年,山东卷)已知函数为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当时,有【分析及解】(Ⅰ)定义域为,当时, ∴①当时,,∵,∴恒成立,即在上恒成立,故在上为减函数,∴无极值。②当时,由得,判别式,∴不等式对恒成立,从而在上恒成立,故在上为减函数,∴也无极值。③当a>0时,由,即,判别式,∴方程有两个不同实根,解之得: 又时,恒成立,∴当时,,当时,,故在上为减函数,故在上为增函数,∴在处有极小值为 综上所述,n=2时,当a>0时,在处取得极小值,极小值为当a≤0时,无极值.(Ⅱ)证明:当时,当时,对任意的正整数n,恒有,∴故只需证明即可,下面直接作差构造函数证明:令则当时,故在上单调递增,因此当时,,, 有,即5.(本小题满分16分)已知.(1)求函数在上的最小值;(2)对一切,恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切,:本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题,主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用,考查等价转化、,有计算,有推理,有证明,(1)问,只要运用导数的方法法研究出函数的单调性即可,最值就容易确定了;对于第(2)问,是一个不等式恒成立的问题,可通过分离常数,将其转化为求函数的最值问题来处理;对于第(3)问,可以通过构造函数,:(1),当,,单调递减,当,,单调递增.(2分)①,t无解;②,即时,;③,即时,在上单调递增,;所以.(6分)(2),则,(8分)设,则,,,单调递减,,,单调递增,所以. (10分)因为对一切,恒成立,所以. (12分)(3)问题等价于证明,由⑴可知的最小值是,当且仅当时取到. (14分)设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立.(16分)6.(本小题满分16分)若函数在上恒有成立(其中为的导函数),,试判断是否为A类函数;若函数是A类函数,求函数的单调区间;若函数是A类函数,当时,.⑴因为,所以在上恒成立,即在上恒成立,所以是型函数.………………2分⑵,由,得,因为,所以可化为,令,,令,得,当时,,是减函数;当时,,是增函数,所以,所以,.………………4分①当时,由,得,所以增区间为,减区间为;②当时,由,得,所以增区间为,减区间为;③当时,得,或,所以增区间为,,减区间为;④当时,,所以,函数增区间为;⑤时,由,得,或,所以增区间为,,减区间为.…………………………10分⑶证明:函数是上的每一点处都有导数,且在上恒成立,设,在时恒成立,所以函数在上是增函数,………………………………………12分因为,所以,所以,即,14分所以,两式相加,得,16分8.(本小题满分16分)已知函数.(1)设P,Q是函数图象上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;(2)求实数的取值范围,、性质及导数等基础知识,考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、.(1)设P,Q是函数图象上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;(2)求实数的取值范围,:(1)由题意,,,则有,即.………………6分(2)当时,恒成立.…………………………8