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分类号 O12
陕西师范大学学士学位论文
同余在中学数学竞赛中的应用
作者单位陕西师范大学继续教育学院
指导老师许汪涛
作者姓名于小强
专业、班级 2006 级数学专升本
提交时间 2007年11月
同余在中学数学竞赛中的应用
于小强
(继续教育学院2006级)
指导老师:许汪涛
[摘要]本文写的是自己在做题中得出的一些关于同余的性质。有些给出了证明,谈了应用,有些只给出了证明。
[关键词]数论同余应用数学竞赛
[正文]
一准备知识
1定义:设m是一个给定的正整数,如果两个数a,b用m除所得的余数相同,则称a,b对模m同余。记为a≡b(modm)。
2 同余的基本性质
(1)a≡b(m)m︱a-b;
(2)若a≡b(m) b≡c(m) 则a≡c(m);
(3) 若a≡b(m) ,c≡d(m),则a±c≡b±d(m) ac≡bd(m);
(4) ac≡bc(m) c≠0,则a≡b(),特别地,若(m,c)=1 则a≡b(m);
(5) a≡b(m) 而d∣m,(d>0) 则a≡b(d);
(6) 若a≡b(m),c是正整数, ac≡bc(m);
(7) 若a≡b(m),若a≡b(m),则a≡b([m,m]),特别地,若(m,m)=1, 则a≡b(mm);
(8) 若a≡b(m),则(a,m)=(b,m);
(9)若a≡b(m),i=1,2,…n,则ax+ax+…ax+a≡bx+bx+…bx+b(m),特别地,设= cx+cx+…cx+c(cz), 若a≡b(m),则≡(m);
(10)若≥1,(a,m)=1,则存在使得≡1(m),我们把称为是对模的逆,记作(m)
3 定理
(1)欧拉定理若(a,m)=1,则a≡1(m).
(2)费尔马小定理若p为素数,则a≡a(p).
二主要结论及应用
命题1 一个数和它各位上的数字之和关于模9同余。
证明任一个正整数aa…aa(十进制表示) 也可表示为a+a+…a+a,而a+a+…a+a≡a+a+…+a+a(), a+a+…+a+
例1设十进制数的各位数字之和为A,而数A的各位数字之和为B,求B的各位数字之和。
解如果n有k位数,那么它的各位数字之和最大为9K,注意到
<==
因此,至多有17777位数。
所以A<9×17777=159993
同理可得B<5×9=45,并且B的各位数字之和C<3+9=12
由命题1 ≡
由费尔马小定理≡1应用这个结果并且注意到=
我们有≡≡≡7
而小于12并且和7同余以9为模的数只有7。因此C=7.
命题1在实际应用中有很大的用处。①能知道一个数被9除的余数。②判断乘法算式的对错③计算像例1这一类题。
命题2 如果一个等式的两边都取整数值,则等式的两边必对任意非零整数都同余。即:,均取整数值,且=,k为任意非零整数,则≡.
例2 设是异于2,5,13的任一正整数,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同元素a,b使得ab-1不是完全平方数(1986年第二十七届国际数学奥林匹克竞赛第一题)
证因为2×5-1= 2×13-1= 5×13-1= 所以我们要证集合{2d-1,5d-1,13d-1}有一个数不是完全平方数。用反证法。假设所有