文档介绍：蒙特卡罗方法研究及在系统仿真中的应用

孙旭涛 12030068
一、蒙特卡罗历史
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期(约1777年),当时布丰(Buffon)为了计算圆周率,设计了一个“投针试验”。
从Buffon(蒲丰)投针问题谈起。Buffon投针问题:平面上画很多平行线,(< a) 的针,此针与任一平行线相交的概率p。
若我们独立重复地作n次投针试验,记为A发生的次数。为A在n次中出现的频率。假如我们取作为的估计,即。然后取作为的估计。根据大数定律,当时,从而有。这样可以用随机试验的方法求得
的估计。历史上有如下的试验结果。
试验者
时间(年)
针长
投针次数
相交次数
pi的估计值
Wolf
1850

5000
2532

Smith
1855

3204
1218

Fox
1884

1030
489

Lazzarini
1925

3408
1808

虽然方法已经存在了200多年,此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年,美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故,每个项目都要一个代号,项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称,自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。
蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法亦称为随机模拟(Random simulation)方法,有时也称作随机抽样(Random Sampling)技术或统计试验(Statistical Testing)
方法。它的实质是通过大量随机试验,利用概率论解决问题的一种数值方法,基本思想是基于概率和体积间的相似性。这种方法和Simulation仿真有细微区别。单独的Simulation仿真只是模拟一些随机的运动,其结果是不确定的;Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的,但是它要解决的问题的结果却是确定的。
当系统中各个单元的可靠性特征量已知,但系统的可靠性过于复杂,难以建立可靠性预计的精确数学模型,或者模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。随着模拟次数的增多,其预计精度也逐渐增高。由于需要大量反复的计算,一般均用计算机来完成。
首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。
事件A在n次试验中出现的次数为nA,其出现的频率为nAn,依概率收敛于事件A出现的概率P的问题。用随机变量X表示事件A,Xi表示第i次实验。若A出现则Xi=1,否则Xi=0,若A出现的概率为P,则
由契比雪夫不等式得,对任意ε>0,有
若令n→∞,便得到limnan-p<ε=1。该式说明时,事件A的频率可认为是事件A发生的概率。
二、随机模拟
随机事件是在一定条件下有可能发生的事件。而概率是随机事件发生的可能性的度量P(A), 0 ≤ P(A) ≤ 1。随机变量是在一定的范围内随机取值的变量, “X=ak”(k=1,2,…,n), 随机发生.
均匀分布的分布函数是
均匀性特点是均匀分布随机变量X落在(a,b)内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,.
两点分布
二项分布
离散的均匀分布
为泊松分布
正态分布密度
正态分布由两个参数 u (数学期望): μ=E(X),它确定了概率曲线的中心位置,而σ是X的标准差,它确定了概率曲线的”宽窄”程度.
在许多实际问题中,有一类随机变量可以表示成为许多相互独立的随机变量之和,而其中每个随机变量对总和只起微小的影响,,如果我们分析到一个随机变量受到较多独立的,微小因素的叠加影响,:工厂产品的测量尺寸,农作物的收获量,某地区成年人的身高,体重等可看成服从正态分布的随机变量.
指数分布密度
三、随机数与随机变量模拟