文档介绍：第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。§3-1逆解法与半逆解法多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力主要内容(1)逆解法(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),假设各种满足相容方程(2-27)的φ(x,y)的形式;(2)——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式(2-26),求出(具有待定系数);(3)再利用应力边界条件式(2-18),来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题,从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。(2-27)或者:由相容方程(2-27),直接解出φ(x,y)的形式;§3-1逆解法与半逆解法多项式解答(2)半逆解法(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),假设部分应力分量的某种函数形式;(2)根据与应力函数φ(x,y)的关系及,求出φ(x,y)的形式;(3)最后利用式(2-26)计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础:数理方程中分离变量法。(2-27)适用性:由一些直线边界构成的弹性体。目的:考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y),能解决什么样的力学问题。——逆解法其中:a、b、c为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程:显然φ(x,y)满足双调和方程,因而可作为应力函数。(1)(2)(3)对应的应力分量:若体力:X=Y=0,则有:结论1:(1)(2)一次多项式对应于无体力和无应力状态;在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。(1)其中:a、b、c为待定系数。(假定:X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程,显然有(2)(可作为应力函数)(3)由式(2-26)计算应力分量:2axy2c2c2a结论2:二次多项式对应于均匀应力分布。试求图示板的应力函数。例:(1)其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程,显然有(2)(可作为应力函数)(假定:X=Y=0)(3)由式(2-26)计算应力分量:结论3:三次多项式对应于线性应力分布。xyxy讨论:可算得:xy1ll图示梁对应的边界条件:MM可见:——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数a与弯矩M的关系:(1)由梁端部的边界条件:(2)可见:此结果与材力中结果相同,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy1llMM说明:(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布,且中心处为零,结果才是精确的。(2)若按其它形式分布,如:则此结果不精确,有误差;但按圣维南原理,仅在两端误差较大,离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时,误差较小;反之误差较大。(1)检验φ(x,y)是否满足双调和方程(2)代入:得可见,对于函数:其待定系数,须满足下述关系才能作为应函数:(3)应力分量:——应力分量为x、y的二次函数。(4)特例:(须满足:a+e=0)xy