文档介绍：复变函数总结完整版复数1=-1欧拉公式z=x+iy实部Rez虚部Imz2运算①②③④⑤共轭复数共轭技巧运算律P1页3代数,几何表示z与平面点一一对应,与向量一一对应辐角当z≠0时,向量z和x轴正向之间的夹角θ,记作θ=Argz=k=±1±2±3…把位于-π<≤π的叫做Argz辐角主值记作=4如何寻找argz例:z=1-iz=iz=1+iz=-1π5极坐标:,利用欧拉公式可得到6高次幂及n次方凡是满足方程的ω值称为z的n次方根,记作即第二章解析函数1极限2函数极限复变函数对于任一都有与其对应注:与实际情况相比,定义域,值域变化例②称当时以A为极限当时,连续证明在每一点都连续证:所以在每一点都连续3导数例2时有证:对有所以例3证明不可导解:令当时,不存在,所以不可导。定理:在处可导u,v在处可微,且满足C-R条件且例4证明不可导解:其中u,v关于x,y可微不满足C-R条件所以在每一点都不可导例5解:不满足C-R条件所以在每一点都不可导例6:解:其中根据C-R条件可得所以该函数在处可导4解析若在的一个邻域内都可导,此时称在处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算☆例:证明解:则任一点处满足C-R条件所以处处解析练****求下列函数的导数解:所以根据C-R方程可得所以当时存在导数且导数为0,其它点不存在导数。初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数①定义域②③④Ⅲ对数函数称满足的叫做的对数函数,记作分类:类比的求法(经验)目标:寻找幅角主值可用:过程:所以例:求 的值Ⅳ幂函数对于任意复数,当时例1:求的值解:例2:求Ⅴ三角函数定义:对于任意复数,由关系式可得的余弦函数和正弦函数例:求解:,则在C上可积,且有注:①C是线②方式跟一元一样方法一:思路:复数→实化把函数与微分相乘,可得方法二:参数方程法☆核心:把C参数C:例:求①C:0→的直线段②;解:①C:②结果不一样2柯西积分定理例:C:以a为圆心,ρ为半径的圆,方向:逆时针解:C:积分与路径无关:①单联通②处处解析例:求,其中C是连接O到点的摆线:解:已知,直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析,则即把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于故★关键:①恰当参数②,,则