文档介绍：复数1=-1欧拉公式z=x+iy实部Rez虚部Imz2运算①②③④⑤共轭复数共轭技巧运算律P1页3代数,几何表示z与平面点一一对应,与向量一一对应辐角当z≠0时,向量z和x轴正向之间的夹角θ,记作θ=Argz=k=±1±2±3…把位于-π<≤π的叫做Argz辐角主值记作=4如何寻找argz例:z=1-iz=iz=1+iz=-1π5极坐标:,利用欧拉公式可得到6高次幂及n次方凡是满足方程的ω值称为z的n次方根,记作即第二章解析函数1极限2函数极限复变函数对于任一都有与其对应注:与实际情况相比,定义域,值域变化例②称当时以A为极限当时,连续证明在每一点都连续证:所以在每一点都连续3导数例2时有证:对有所以例3证明不可导解:令当时,不存在,所以不可导。定理:在处可导u,v在处可微,且满足C-R条件且例4证明不可导解:其中u,v关于x,y可微不满足C-R条件所以在每一点都不可导例5解:不满足C-R条件所以在每一点都不可导例6:解:其中根据C-R条件可得所以该函数在处可导4解析若在的一个邻域内都可导,此时称在处解析。用C-R条件必须明确u,v四则运算☆例:证明解:则任一点处满足C-R条件所以处处解析练****求下列函数的导数解:所以根据C-R方程可得所以当时存在导数且导数为0,其它点不存在导数。初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数①定义域②③④Ⅲ对数函数称满足的叫做的对数函数,记作分类:类比的求法(经验)目标:寻找幅角主值可用:过程:所以例:求 的值Ⅳ幂函数对于任意复数,当时例1:求的值解:例2:求Ⅴ三角函数定义:对于任意复数,由关系式可得的余弦函数和正弦函数例:求解:,则在C上可积,且有注:①C是线②方式跟一元一样方法一:思路:复数→实化把函数与微分相乘,可得方法二:参数方程法☆核心:把C参数C:例:求①C:0→的直线段②;解:①C:②结果不一样2柯西积分定理例:C:以a为圆心,ρ为半径的圆,方向:逆时针解:C:积分与路径无关:①单联通②处处解析例:求,其中C是连接O到点的摆线:解:已知,直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析,则即把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于故★关键:①恰当参数②,,则例:计算解:练****计算解:4柯西积分公式定理处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则例1:解:例2:解:例3:解:注:①C:②一次分式③找到在D内处处解析例4:解:5解析函数的高阶导数公式:n=1,2……应用要点:①②③精准分离例:6调和函数若满足则称叫做D内的调和函数若在D内解析所以把称为共轭调和函数第四章级数理论1复数到距离谈极限对若有使得此时为的极限点记作或推广:对一个度量空间都可谈极限2极限的性质34级数问题部分和数列若则收敛,反之则发散。性质:1若都收敛,则收敛2若一个收敛,一个发散,可推出发散3若绝对收敛若但收敛,为条件收敛等比级数:时收敛,其他发散幂级数则求收敛域例:求的收敛半径及收敛圆解:因为所以级数的收敛半径为R=1,收敛圆为泰勒级数泰勒定理:设函数在圆K:内解析,则在K内可以展成幂级数其中,,(n=0,1,2……),且展式还是唯一的。例1:求在处的泰勒展式解:在全平面上解析,,所以在处的泰勒展式为例2:将函数展成的幂级数解:罗朗级数罗朗定理若函数在圆环D:内解析,则当时,有其中例:将函数在圆环(1)(2)内展成罗朗级数。解:(1)在内,由于,所以(2)在内,由于,所以孤立奇点定义:若函数在的去心邻域内解析,在点不解析,则称为的孤立奇点。例:为可去奇点为一级极点为本性奇点第5章留数理论(残数)定义:设函数以有限项点为孤立奇点,即在的去心邻域内解析,则称积分的值为函数在点处的留数记作:其中,,C的方向是逆时针。例1:求函数在处的留数。解:因为以为一级零点,而,因此以为一级极点。例2:求函数在处的留数解:是的本性奇点,因为所以可得傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化,以便于研究。定义:对满足某些条件的函数在上有定义,则称为傅里叶变换。同时为傅里叶逆变换注:①傅里叶变换是把函数变为函数②傅里叶逆变换是把函数变为函数③求傅里叶变换或傅里叶逆变换,关键是计算积分④两种常见的积分方法:凑微分、分部积分复****积分:①②③④⑤注:例1:求的