文档介绍：细长压杆的临界压力
一、压杆的稳定平衡与不稳定平衡
本章所讨论的压杆都是指中心受压的等截面直杆,即理想压杆。在分析压杆的稳定性之前,先分析图12-4所示的小球在不同位置的平衡状态。图12-4(a)表示位于凹面最低位置A的一小球处于平衡状态,这时如果将小球轻轻推动一下,小球将由于本身自重的作用,在点A附近来回滚动,最后停留在原来位置A。小球在位置A的平衡是稳定的,称为“稳定平衡”。图12-4(b)则表示将小球放在凸面上最高点B,如果无干扰力,小球在B点也能保持平衡状态,但如果将小球轻微推动一下,小球将沿坡面滚下去,到另一位置C,然后静止平衡,再也不能回到原来位置B上。小球在原来位置B的平衡是不稳定的,称为“不稳定平衡”。
同样,对弹性压杆也有稳定平衡与不稳定平衡的问题。为了说明压杆平衡状态的稳定性,取两端铰支的细长杆件,其上作用轴向压力F,并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲,如图12-5所示。压杆的平衡形式将随着轴向压力F 发生变化。
(1)当F较小,小于某一值 Fcr时,,最后恢复到原来的直线形状的平衡(图12-5a)。所以,在较小的压力F作用时,杆件原有的直线平衡状态是稳定平衡状态。
(2)当F增大到Fcr(F = Fcr)时,压杆只要受到一微小的横向干扰力,即使将干扰力立即去除,也不能回复到原来的直线平衡状态,而变为曲线形状的平衡(图12-5b)。压杆原有的直线平衡状态是不稳定平衡状态。
(3) 如果继续增大压力F ,使F>Fcr ,,则杆件继续弯曲以至最后折断。
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“屈曲”。在稳定的直线平衡形式与不稳定的直线平衡形式之间的分界点称为“临界点”,临界点对应的轴向压力Fcr称为临界压力。由此可见,压杆直线状态的平衡是否稳定,取决于压力F的大小。当F小于临界压力Fcr时,直线状态的平衡是稳定的,当F大于或等于临界压力Fcr时,直线状态的平衡是不稳定的,即发生失稳(屈曲)现象。工程上要求压杆在外力作用下始终保持其原有的直线形状的平衡,否则,将会导致结构的破坏。
二、细长中心压杆临界压力的欧拉公式

压杆处于临界状态时,有两种可能的平衡状态:直线平衡状态、微弯平衡状态。
以两端铰支(球铰)的等截面中心压杆为例来推导其临界力的计算公式。设两端铰支长度为l的一细长压杆在临界压力Fcr作用下处于微弯平衡状态,如图12-6a所示。从挠曲线入手,求临界压力。
图12-6 两端铰支压杆的临界状态
取杆轴线为x轴,与之垂直的为y轴,原点在铰支座B,建立坐标系。距原点为x的任意横截面上的挠度为w,弯矩为
(a)
弯矩的正、负号按前面规定,挠度w为正时,弯矩M(x)为负。将弯矩M(x)代入挠曲线近似微分方程:
(b)
令(c)
(b)式可写为
(d)
上式微分方程的通解为
(e)
式中A、B为积分常数,与压杆的边界条件有关。两端铰支的边界条件为
(f)
A、B不全为零的条件是
由此解得
这要求(n=1,2,3……..) (g)
(h)
将式(h)代入(c)得

临界压力 Fcr 是微弯下的最小压力,故只能取n=1,于是得到
(12-1)
公式(12-1)就是两端铰支等截面直杆临界压力的