文档介绍：Finite Element method and ANSYS
有限元分析及ANSYS
北京工业大学机电学院
第四章杆梁结构的有限元方法
杆梁结构分析的工程概念
杆件有限元分析的标准化表征与算例
梁件有限元的标准化表征与算例
本章要点回顾
杆梁结构分析的工程概念
在机械结构中,杆、梁、板是主要的承力构件,关于它们的计算分析对于机械结构设计来说具有非常重要的作用,对杆、梁、板的建模将充分考虑到实际结构的几何特征及连接方式,并需要对其进行不同层次的简化,可以就某一特定分析目的得到相应的1D、2D、3D模型。
由于在设计时并不知道结构的真实力学性能(或许还没有实验结果,或许还得不到精确的解析解),仅有计算分析的一些结果,因此,一种进行计算结果校核或验证的可能方法,就是对所分析对象分别建立1D、2D、3D模型,来进行它们之间的相互验证和核对;图4-1给出一个建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程。
杆梁结构分析的工程概念
图4-1 建筑结构中的杆梁框架以及建模简化过程
杆件有限元分析的标准化标准与算例
1 基本力学原理
杆件是最常用的承力构件,它的特点是连接它的两端一般都是铰接接头,因此,它主要是承受沿轴线的轴向力,因两个连接的构件在铰接接头处可以转动,则它不传递和承受弯矩。
有一个左端固定的拉杆,其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l,横截面积为A,弹性模量为E,如图4-2所示,这是一个一维问题,下面讨论该问题的力学描述与求解。
图4-2 一端固定的拉杆
杆件有限元分析的标准化标准与算例
基本变量:
由于该问题是沿x方向的一维问题,因此只有沿x方向的基本变量,即定义沿x方向移动为位移:
定义:沿x方向移动为位移:
沿x方向的相对伸长(或缩短)量为应变:
沿x方向的单位横截面上的受力为应力:
基本方程:
①取出杆件的任意一个截面,可得到平衡方程(无体力)为
②取出杆件x位置处的一段长度dx,设伸长为du,则相对伸长量为
③由该材料的拉伸试验,可得到该材料的虎克定律为
④边界条件
位移边界条件BC(u)
力边界条件BC(p)
杆件有限元分析的标准化标准与算例
从求解思路来说,可以有两类方法来对该问题进行求解,即:
直接求解法:可以由3个方程来直接求解3个变量;
间接法(试函数):选取变量(位移)作为基本的待求变量,将其它变量都用它来表达,并采用间接的近似求解方法。具体的做法如下:
假设满足位移边界条件的位移变量可能解(含待定的系数),称为试函数,让该受力系统的势能取最小值来最后确定出可能解(试函数)中的那些待定系数;也可以让该受力系统的内部变形虚功等于外部施加力的虚功,来求出试函数中的那些待定系数。
杆件有限元分析的标准化标准与算例
1D问题的虚功原理求解
先以一个简单的结构静力平衡问题来描述虚功原理的基本思想,然后再具体求解一端固定的拉杆问题。
如图4-3所示的一个平衡力系,由于该系统处于平衡状态,则有
假想在该平衡力系上作用有微小的扰动(不影响原平衡条件),且外力所作用的位置产生了微小的位移变化,即ΔA,ΔB。该假想的位移如果不影响原平衡条件,应满足以下几何关系
杆件有限元分析的标准化标准与算例
这就是任意扰动的位移应满足的条件,称为许可位移条件,我们把满足许可位移条件的、任意微小的假想位移称为虚位移。
即:对于一个处于平衡状态的系统,作用于系统上的所有外力在满足许可位移条件的虚位移上所做的虚功总和恒为零。
现在进一步讨论弹性力学中有关变形体的虚功原理,这时的虚功应包括外力虚功δW和内力虚功−δU,δU叫做虚应变能。由于弹性体在变形过程中,内力是抵抗变形所产生的,其方向总是与变形的方向相反,所以内力虚功取负。由于虚功总和为零,则有
弹性力学中的虚功原理可表述为:在外力作用下处于平衡状态的变形体,当给物体以微小虚位移时,外力所做的总虚功等于物体的总虚应变能(即应力在由虚位移所产生虚应变上所作的功)。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。
杆件有限元分析的标准化标准与算例
下面应用虚功应力来具体求解如图4-2所示的一端固定的拉杆问题,设有满足位移边界条件的位移场
可以验证:它满足位移边界条件。这是一个待定函数,也称为试函数,所谓该函数是待定的,就是因为它中间有一个待定系数,这就需要通过一个原理来确认它,下面由虚功原理来进行确认。基于式(4-13)的试函数,则它的应变、虚位移以及虚应变为
其中δc为待定系数的增量。计算如图4-2所示算例的虚应变能以及外力虚功为
(4-13)