文档介绍：公式号、图号
第九章机械结构的动力有限元
本章介绍介绍机械结构动力学的有限元建模方法,然后利用有限元求解机械结构系统的固有动特性,对典型工况下的动态响应进行分析,并介绍了几个典型应用实例。
动力学方程的建立
在动力学问题中,位移、速度、应变、应力和载荷都是时变的。弹性结构的动力学问题的基本方程如下
平衡方程()
几何方程()
物理方程()
边界条件, (在Su边界上)、, ()
以及初始条件。
式中,是密度,是阻尼系数,分别是对t的二阶导数和一阶导数,即加速度和速度。分别表示惯性力和阻尼力,作为体积力的一部分出现在平衡方程中。
只对空间域进行离散,单元内位移的插值函数分别为
()
其中,u。
平衡方程式()以及力边界条件的等效积分形式的Galerkin提法如下
()
对上式第一项进行分部积分,并引入物理方程,则由上式可以得到
()
将位移空间离散后的表达式() 代入上式,注意这里的相当于u, v, w,并根据变分原理,最终得到结构系统的动力学方程
()
其中,和分别是结点加速度向量和速度向量,和分别是结构系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和结点载荷向量,分别由各自的单元矩阵和向量集成
, ,, ()
其中,
,,,

分别是单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和单元载荷向量。
质量矩阵和阻尼矩阵
式()所表达的单元质量矩阵
()
称为协调质量矩阵或一致质量矩阵,这是因为公式导出时采用了和导出刚度矩阵一致的位移插值函数,其质量分布是按照实际分布情况考虑的。式中的形函数矩阵N随单元类型而异。
例如,对于平面三角形常应变单元,其位移插值函数为, 其中,I是
单位矩阵,,系数见前文,A是三角形单元面积。利用上式可以算得平面三角形常应变单元的协调质量矩阵具体表达式为

如果是等参元,设其形函数矩阵为,单元协调质量矩阵为
()
为计算方便,还经常采用集中质量矩阵,即假设单元的质量集中在结点上,即把每个单元的分布质量按静力学中的平行分解原理,平均分配到每个结点上,形成一个阶数等于单元自由度数的对角线质量矩阵,而非主角线元素均为0。例如,对于平面三角形常应变单元,其集中质量矩阵为
()
对于式()所表达的单元阻尼矩阵
()
称为协调阻尼矩阵,它是假设阻尼力正比于质点运动速度的结果。通常将介质阻尼简化为这种情况,这时单元阻尼矩阵比例于单元质量矩阵。
除此之外,还有比例于应变速度的阻尼,例如由于材料内摩擦引起的结构阻尼通常可简化为这种情况,这时的阻尼力可表示成,可以得到单位阻尼矩阵
()
此单元阻尼矩阵比例于单元刚度矩阵。由于系统的固有振型对于和具有正交性,因此固有振型对于比例于和的阻尼矩阵也具有正交性。所以这种阻尼矩阵称为比例阻尼矩阵或振型阻尼矩阵。通常允许将实际结构的阻尼矩阵简化为和的线性组合。即
()
其中是不依赖于频率的常数。这种振型阻尼称为Rayleigh阻尼。
利用有限元分析机械结构的固有动特性
机械结构的固有频率和固有振型
不考虑阻尼影响的机械结构的自由振动方程是
()
它的解可以假设为以下形式
()
其中,是阶向量,是向量振动的频率,是时间变量,是由初始条件确定的时间常数。
将式()代入式(),就得到一广义特征值问题
()
求解以上方程可以确定和,结果得到个特征解…,,其中特征值,…,代表系统的个固有频率,并有.
对于结构的每个固有频率,由式()可以确定出一组各节点的振幅值,它们互相之间保持固定的比值,但绝对值可任意变化,所构成的向量称为特征向量,在工程上通常称为结构的固有振型。设特征向量,…,代表结构的个固有振型,它们的幅度可按以下要求规定
()
这样规定的振型又称为正则振型,即所谓的固有振型。
固有振型具有如下重要性质。将特征解代回方程式(),得到
()
上式前一式两端前乘以,后一式两端前乘以,并由和的对称性推知
()
所以可以得到
()
由上式可见,当时,必有
()
上式表明固有振型对于矩阵是正交的。和()式在一起,可将固有振型对于的正则正交性质表示为
()
进而可得
()
定义固有振型矩阵,则
()
特征解的性质还可表示成
()
式中,和分别称为固有振型矩阵和固有频率矩阵。由此,原特征值问题还可以表示成