一道2002年复旦自主招生试题的背景探究和拓展试题研究探究一.pdf

文档介绍：年第期数学款学一
一道年复旦自主招生试题的背景探究和拓展
华中师范大学国家数字化学工程技术研究中心彭翕成
广东省河源市连平县忠信中学严文兰
年复旦大字目主生有这样一道趑: 料,可以得到更多信息.
证明方程。一。的任一组整数解在曹珍富先生的《丢番图方程引沦》
,≠都满足一丽年哈尔滨工业大学出版社出版的第
.
页,有如下例题:设是一个给定的整数,
证明: 。一。: 一则丢番图方程≠最多有一
。,由。组整数解此题证明需要用到复杂的—方
法,而且证明过程长达个页面,本文略去.
丢得一等价于一一: ,方
妮,下面证明. 程—≠,最多
有一组整数解,即一,一. 也就是说所谓
此式可化为考。一, 的“任一组”整数解, ≠,给人感觉好
因为一≈一. ,所像方程有很多组解,其实只有唯一解一,一.
以知道了题目背景,在研究时就掌握了制高点,
, 得证.
—。一由一·
言,

一口丽. 可得拓展.
能否缩小不等式一妮中的系整数解,≠都满足一.
数呢
拓展: 证明方程—。的任一组证明:当≤时,注意到只能为奇
数检验易知只有解一, 一,计算
整数解,≠都满足』一丽· 一.
.
证明:仿照上文, —。一
,由当时,由—。知、同
号,此时易证。。, ,所以
。/。一. ,

强即证,、一
孬’
. 一≈一.,所
即
以得证. 。.
一。一, ,
由此可见,命题人根据丢番图方程的
所以丽. 背景来命题,
此题背景是丢番图方程,通过查阅相关资下转第
年第期数学教学一
.
一即



.
一.
图
重庆市第中学李枝团供
. 如图,△日的所含的旁切题
圆与边切于点,与边、△中,求证:
长线分别切于点、、交△召外接
,
圆④于点,直线交于点,求证: ——十丽
.
——·
四川绵阳东辰学校高中部姚
先伟供题
.设、、,求证:

‘
广