文档介绍：数学建模包饺子问题包饺子问题分析摘 要在日常生活中我们经常会遇到:同样的产品,不同大小的包装的时候,应该选择哪一种较为划算;包饺子,包馄饨的时候,皮多了或者馅多的问题,这个时候应该把饺子或者馄饨包大一些还是包小一些才能把多余的皮或馅用完。这些问题在直观上不容易判断出结果,因此需要建立模型来来观察,以做出最佳选择。正文一、问题提出设在包饺子的时通常 1kg 面和 1kg 馅包 100 个饺子,有一次馅多了 ,问能否将饺子包大一些或小一些将这些馅仍用 1kg 面用完?二、问题分析这是一个日常生活中常见的问题,问题的本质就是里用同样面积的饺子皮包更多的饺子馅。将问题抽象为数学问题时,可以做出两个合理的假设: ①饺子皮的厚度一样,也即是饺子皮的总面积不变;②饺子馅的形状都一样,可以都看成球体,因为同样表面积下球体的体积最大,可以包更多的馅。那么饺子包大一些时,饺子的个数就会减少,饺子包小一些时,饺子的个数就会增多。也就是可以问题转化为:总表面积一定的 n(n=1,2,3……)个球体,当 n 取多少的时候可以使得所有球体的总体积最大。这里忽略了饺子皮的厚度。在解决这个问题的时候,可以把问题进一步抽象到把得到的总体积与 n = 1 是情况比较,这样问题就可以的得到很大程度的简化。并且可以先定性的分析问题,判断是将饺子包大还是包小才能达到题目要求,然后可以设计一个函数来模拟这个过程,通过函数来观察这个问题。-1-数学建模包饺子问题三、基本假设从上面的分析我们可以看到在实建立模型的时候,需要做出一些基本假设:1 饺子都是标准的球形的;2 饺子皮的厚度都一样,也就是饺子皮的总面积是常数;3 每个饺子都是皮刚好把馅包起来,不多也不少;四、问题处理n = 1 时对应的情况是:表面积为 S ,体积为V 的一个球体;在一般情况下对应的情况则为:表面积为 s ,体积为 v 的 n 个球体。n =1 时,大球体,表面积 S 体积n 个小球体,表面积 s 体积 vVn =1 时的大球体,此时有:V =p R3S = 2p R2 ,43n 个小球体时,此时有:v =p r3s = 2p r 2 ,43此时则有:n =  = 2 ,v   r= 3S R2s r-2-V  R3V = n v =   n (nv) ³ nvÞ32数学建模包饺子问题由上式可以得到结论,球体个数少,即 n 值越小,所有球体的体积和最大。所以题目中的问题答案是应该包大一点,那样才可以把馅用完。以上所做工作都是定性分析,得出来应该把饺子包大一些的定性结论,那么到底应该包大多少,具体由应该怎么来描述“变大”的饺子?要想得到问题的答案,接下来就需要对问题进行定量分析。根据前面的想法,可以用饺子的个数也即小球体的个数来定量的表观饺子的大小。那么可以记所有球体的总体积为函数值 f (n),就可以通过以上分析得到 f (n)与 n 之间的函数关系:f (n) = nv =1nV其中可以认为V 为常数,因为V 为所有球体的总体积,对应实际问题中的表面积与所有饺子皮面积相等的球体,是一个固定不变的值。依题意有: f (100) =1100VÞV = 100 f (100)又可知多出  kg 馅后,对应的数学关系为: f (n) =  f (100)\解方程可得: n =f