文档介绍：从前面的定解问题的解法中,我们容易想到由于边界形状较为复杂,或由于泛定方程较为复杂,或由于其它各种条件发生变化,将使得定解问题难以严格解出,因此又发展了一些切实可用的近似方法,,我们应该已经注意到,从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定,定解条件本身也带有或多或少的近似性,前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似.
第十三章变分法
如果某个定解问题不能严格解出,但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出,,限于课时,这里就不再重复介绍.
近似解法涉及:变分法,有限差分法和模拟法等.
变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法,变
问题,再求变分问题的解.
变分法的优点:
(2) ,-刘维尔本征值问题可转化为变分问题,变分法提供了施-刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明;
(1) ;
(3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法,其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法,其中最有用的是里茨(Ritz)法. 由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦,计算系数矩阵也十分困难,随着计算机的展,又迅速发展了一种有限元法;
(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域,而且在现代量子场论,现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用.
有限差分法:有限差分法把定解问题转化为代数方程,
然后通过电子计算机求定解问题的数值解.
模拟法:即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题,
而在模型上实测解的数值.
变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法,
已经广泛应用于科学研究和工程计算之中,限于篇幅故
本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论.
变分法的基本概念
定义: 变分法变分问题
泛函的极值问题.
一、泛函
变分法研究的对象是泛函,泛函是函数概念的推广.
为了说明泛函概念先看一个例题:
考虑著名的最速降线落径问题。 所示,
已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点,要求
找出A、B间的这样一条曲线,当一质点在重力作用下沿
这条曲线无摩擦地从A滑到B时,所需的时间T最小.
我们知道,此时质点的速度是
因此从 A滑到B所需的时间为
即为
()
式中
代表对
求一阶导数. 我们称上述的
为
的泛函,而称
为可取的函数类,为泛函
的定义域。简单地说,泛函就是函数的函数(不是复合函数
的那种含义).
一般来说,设C是函数的集合,B是实数或复数的集合,
如果对于C的任一元素
在B中都有一个元素
与之对应,
则称
为
的泛函,记为
必须注意,
因素是自变量的取值,
(即从A到B的不同曲线)
值,也不取决
本身的变化
于某一个
值,而是取决于整个集合C中
与
的函数关系.
定义:泛函泛函的核
泛函通常以积分形式出现,比如上面描述的最速降线
落径问题的式().更为一般而又典型的泛函定义为
()
其中
称为泛函的核.