文档介绍：概率论与数理统计复****题一:全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格,则A1,A2,A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=:P(A1|B)=P(A1B)/P(B)=4/9练****市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等,而且第一、二、三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少?【】练****设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:(1)取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。解:设事件={从第i箱取的零件},={第i次取的零件是一等品}(1)P()=P()P(|)+P()P(|)=(2)P()=,则P(|)==、连续型随机变量的综合题例:设随机变量X的概率密度函数为求:(1)常数λ;(2)EX;(3)P{1<X<3};(4)X的分布函数F(x)解:(1)由得到λ=1/2(2)(3)(4)当x<0时,当0x<2时,当x2时,F(x)=1故练****已知随机变量X的密度函数为且E(X)=7/12。求:(1)a,b;(2)X的分布函数F(x)练****已知随机变量X的密度函数为求:(1)X的分布函数F(x);(2)P{<X<2}三、离散型随机变量和分布函数例:设X的分布函数F(x)为:,  则X的概率分布为( )。分析:其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量[答案:P(X=-1)=,P(X=1)=,P(X=3)=.]练****设随机变量X的概率分布为P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,写出其分布函数F(x)。[答案:当x<1时,F(x)=0;当1≤x<2时,F(x)=;当2≤x<3时,F(x)=;当3≤x时,F(x)=1四、二维连续型随机向量例:设与相互独立,且服从的指数分布,服从的指数分布,试求:(1)联合概率密度与联合分布函数;(2);(3)在取值的概率。解:(1)依题知所以联合概率密度为当时,有所以联合分布函数(2);(3)练****设二元随机变量(X,Y)的联合密度是求:(1)关于X的边缘密度函数fX(x);(2)P{X≥50,Y≥50}五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。[  答案:  ]六、协差矩阵例:已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为计算随机向量(X+Y,X-Y)的协差矩阵解:DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5故(X+Y,X-Y)的协差矩阵练****随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别为计算随机向量(9X+Y,X-Y)的协差矩阵解:E(9X+Y)=9EX+EY=9μ1+μ2E(X-Y)=EX-EY=μ1-μ2D(9X+Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81σ12+18ρσ1σ2+σ22D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=σ12-2ρσ1σ2+σ22COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9σ12-8ρσ1σ2-σ22然后写出它们的矩阵形式(略)七、随机变量函数的密度函数例:设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度( )。  [答案 填:]解:XU(0,2),,求导出=()练****设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,求Y=的概率密度f(y)。[答案:当时,f(y)=,当y在其他范围内取值时,f(y)=0.]八、中心极限定理例:设对目标独立地发射400发炮弹,。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解:设X表示400发炮弹的命中颗数,则X服从B(400,),EX=80,DX=64,由