文档介绍：第卷第期经济数学
年月
一类特殊线性双层规划的对偶规划‘
马建华刘家壮
山东大学数学院,济南,
摘要本文首先给出值型线性双层规划的等价形式,然后讨论了非增的值型线性双层规划的一般对
偶规划,并且说明了其对偶间隙等于零,最后说明了它们最优解的关系
关键词线性双层规划,一般对偶,对偶间隙,最优解
引言
于年在中提出蕴涵约束和线性或非线性规划的对偶问题,后又多
次讨论数学规划和优化理论的对偶在文」中给出了一般对偶的多种
形式,并且说明对偶和盯对偶是’一般对偶的特例但是他们的讨论
仅限于一般线性或非线性规划的对偶问题,而没有考虑描述递阶系统优化问题的多层规划的
对偶问题
递阶系统的优化问题普遍存在于社会经济之中,通过对其研究人们于六、七十年代提出多
层规划模型「〕,并讨论了多层规划解的存在性和求解算法。早期的模型以下层规划的最优解
作为下层反应信息反馈到上层,但由于下层规划最优解的不唯一,这样可能使得上层规划的最
优解无法定义后来「中又提出了以下层最优解值作为下层反应的双层规划模型,为了与
中模型区别,我们称其为值型双层规划中详细讨论了多种类型的值型双层规划及其最
优解的存在性条件,但上述有关多层规划的文章也没有讨论多层规划的对偶问题
在〕中讨论了一类线性分式一二次双层规划的对偶,中通过把一类特殊值型双层规划
转化为单层规划讨论了该规划的对偶性本文将利用一般对偶的思想考虑值型线性双
层规划的对偶,本文首先第二节把中的一般值型线性双层规划转化为简单的等价形式然
后第三节讨论了非增的值型线性双层规划,并且说明了一般值型线性双层规划可以写成一个
非增的值型线性双层规划,从而只需考虑非增的值型线性双层规划对偶形式最后第四节讨论
了值型线性双层规划的对偶规划及其对偶间隙
值型线性双层规划
假设一个递阶系统有两层,上层有一个子系统,下层有个子系统,并且下层子系统以其
最优值作为反应反馈到上层子系统若各子系统的目标函数和约束不等式都是线性的,则
中给出描述其优化问题的值型线性双层规划模型
收稿日期一一
一一经济数学第卷
‘尸
簇

其中、,,⋯,。
,二丫岔夕夕任‘
其中‘夕‘少‘,‘‘占‘,,。二,。
对于每个下层子规划

己留夕

‘从子人洋‘镇,,一,

在其求解时,上层决策变量是其参数,因而‘份可视为常数故而有
、‘二‘‘‘〔‘
则上层目标函数可写成
万‘,〔者
或写成
万‘‘卜万‘‘,‘,‘任‘‘
若令
‘‘‘‘任‘,,⋯,
则双层规划可写成以下形式
艺二,’三
镇
妻
其中牙,二,牙,⋯,三。了
, 弋‘夕‘夕‘〔
一其中· ‘‘, ,‘镇‘,,⋯,
其中。万是常量,重新以。代替。十艺‘,、以代替三,则一般线性值型双层规划
等价于以下形式
了
了

二镇

咬
一、
子夕
‘
其中,二,二,⋯,,,二了
。二岔了了任‘
其中‘二了了,入二及了镇夕,,⋯,
因而下面以双层规划作为值型线性双层规划的一般形式考虑其对偶规划
第期马建华刘家壮一类特殊线性双层规划的对偶规划
非增的值线性双层规