文档介绍：第卷第期经济数学
年月
公共不动点定理‘
刘心歌蔡海涛
中南大学应用数学与应用软件系,长沙,
摘要本文在一致度量空间上首先定义了偏序丛,再利用一原理建立了广义压编
映射的公共不动点定理
关键词偏序,公共不动点,压缩映封,度量空间
引言
设为完备的一致空间,且一致结构由一族度量口,〔川所生成,为指标
集,集合上的所有非负实值函数记为幸在又幸上定义了关系三,即,内兰
,必当且仅当“,必镇抓一汀,对每个任,其中,任,笋,沪任拿,关系兰具有反
身性、传递性,但不具有对称性拿,兰为一个偏序集,在拿中每个线性非空有序子
集称为一条链利用偏序兰,仁〕重新证明了不动点定理,即
定理设一满足。,方毛气,必,,任,任为上的恒等映
射,簇爪,任则具有不动点
的证明既不依赖选择公理,也没有采用迭代方法,而是利用卜原
理本文的主要目的是在一致空间上利用卜原理,证明若两个自映射
了,满足关系,方蕊,,。镇。,任,则和具有公共原不动点特别
二时,则得定理的结论
公共不动点定理
设映射”,且“在拿上重新定义关系二,即
,妇三,妇当且仅当对任,口,力毛笋一沪
显然幸,丛为一个偏序集,同样幸,丛中的每个线性非空有序子集称为一条
链又设,即为指标集上的自映射·
定理拿,兰中的每条链具有上确界
证明若任,则存在。任净。任幸,使得。。,人,定义拿,兰中的网
几。。,凡二。,汽,则网毛·。递增,即,‘“,则户。·、,岛成丸,一汽·显
然,人,。在中递减,从而人。。。收敛设笋。二人,对每个任对每个任
口石
,则人。。。为网,从而。口。也是中的网由的完备性,则存在
命收稿日期一一
第期刘心歌蔡海涛公共不动点定理
。任,使得。一睡·· 当,“时,则··,,·蕊人一人,‘·
不等式两边对几取极限,则对每个“,。,,。人,一笋。“,由丛的定义知
几工,人镇。,笋。,由。,的任意性知。,人为的上界,且。,笋。为的上确
界实际上,设,卯为的另一个上界,由于“,从而存在‘,使得’对
,
。。,。。,’镇。。,。。。,
镇。。,,汽一笋
两边对。取极限,则对任,。。,成必。一笋,从而。,笋。丛,价,故
。,笋。为链的上确界,定理证毕
设是指标集上的自映射,了为上的自映射称为广义的压缩映射,若,任,
任,。,方,。邪,舒,其中镇。镇定义映射尺拿幸,即,
声任拿,,笋,· 笋。,这里· 笋。淤
定理设为上的自映射,对每个,若。,方瓜九,,气,则当
,必兰,必时,则有,必兰,必,即与丛同单调
证明设,必丛,妇,于是对于每个,
户。,镇,。,盯簇。笋一必
淤一护
故,· 笋。七方,· 沪。,即,妇兰,必
引理一不动点定理设尸,三为偏序集,尸尸与迁同单调若存
在妊尸使得丛,且在任尸,丛中的每一条链都有上确界,则具有不动点
定理设,对每个任,。,方镇。,,其中为上的恒同映
射,。毛气,则与具有唯一的公共不动点
。,十。