文档介绍：一、协方差二、相关系数§***。。协方差相关系数一、协方差定义1:称数值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X,Y的协方差,记为Cov(X,Y)(Covariance)或σxy,即:σxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}(1)说明:1)由定义1,若(X,Y)是离散型的,则若(X,Y)是连续型的,则2)由方差的定义知D(X)=σxx,D(Y)=。。协方差相关系数3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=σxx+σyy+2σxy(4)4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)且由方差的性质3知:当X,Y相互独立时,σxy=0,但反之不一定。反例:设(X,Y)的联合密度是f(x,y)=,x2+y2≤10,其它求:σXX,σXY,σYYσxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}(1)。。协方差相关系数反例:设(X,Y)的联合密度是解:E(X)=E(Y)=0σXX=σYY=1/4,σXY=0故X与Y不相互独立可见σXY=(x,y)=,x2+y2≤10,其它σxy=Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}(1)。。协方差相关系数注:对二维正态向量而言,σXY=0是X,Y相互独立的充要条件。§,Y独立的充要条件是ρ=0,以下例题将证明ρ=0与σXY=0等价。例1设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求σXY。解:E(X)=μ1,E(Y)=μ2,σXX=σ12,σYY=。。协方差相关系数例1设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求σXY。。。协方差相关系数二、(X,Y)=Cov(Y,X)(aX,bY)=abCov(X,Y),a,(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.,等号成立当且仅当存在常数a和b,、相关系数定义2为随机变量X,Y的相关系数(分母不为零),有时简记ρ显然,对二维正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)而言,。。协方差相关系数ρxy的含义:以X的线性函数a+bX来近似表示Y,以均方误差来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度,e越小表示a+bX与Y的近似程度越好,因此,我们取a,。。协方差相关系数解得由(8)易得定理1)|ρxy|≤12)|ρxy|=1的充要条件是:存在常数a,b使P{Y=a+bX}=。。协方差相关系数相关系数ρxy的含义:ρxy是一个可以用来衡量X,Y之间线性关系紧密程度的量,当|ρxy|较大时,X,Y就线性关系而言联系较紧密,我们称X,Y线性相关的程度较好,当|ρxy|=1时,X,Y之间以概率1存在着线性关系,当ρxy=0时,称X和Y不相关。说明:1)当X,Y相互独立时,ρ=0,但反之却不一定,只有在二维正态向量中X,Y相互独立<=>X,Y不相关(ρ=0)2)ρ是表征X,Y的线性关系的,ρ很小并不说明X,Y之间没有关系,如若X~N(0,1),Y=X2,则ρxy=0,。。协方差相关系数