学年论文(逆矩阵).doc

文档介绍：,如果有阶方阵,使得,这里是阶单位矩阵,就称为的逆矩阵, 设是一数域,对于,如果存在,使得,则可逆且证明 由逆矩阵的定义可得例1 已知,设,求的逆矩阵解 因为,故有,即,那么,所以,即的逆矩阵是从此例子可看出,只要有,则有,或者, 设,若,那么证明 设阶矩阵由行列式等于它的任意一行(列)的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和,以及行列式的某一行(列)的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零,以下等式成立:这里是行列式中元素的代数余子式,由此容易看出,若是令那么因为, 因为,所以是可逆的,又, 如果方阵、可逆,那么分块矩阵可逆,、可逆,那么分块矩阵可逆,,且,那么阶方阵可逆,且其逆矩阵为证明 假定有逆矩阵,将按的分法进行分块:那么有于是得因为有逆矩阵,用左乘第二行的两个等式得将代入上面第一个等式得再以左乘,得再把代入等式中得将第二项移到等号右端, 将矩阵进行分块得其中又因为所以矩阵、都是可逆的,且则有那么矩阵可逆, 在通过行(列)初等变换把可逆矩阵化为单位矩阵时,对单位矩阵施行同样的初等变换,,则可逆,那么存在初等矩阵使得就有I即因此例4设设求解 于是,、列初等变换可以将可逆矩阵化为单位矩阵,且设用其中的行变换将单位矩阵化成