文档介绍：关于柯西不等式的几种推广数学学院 数学与应用数学(师范)专业 2008级 冉以萍指导教师吕美英摘 要:我们知道,在高等数学中柯西不等式是人们熟知的重要不等式,其应用极为广泛。本文主要研究了柯西不等式的几种推广形式,包括赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式以及施瓦茨不等式,并给出了这几种重要的不等式的证明,然后运用柯西不等式及其几种推广形式对求解最值和证明不等式进行探讨。关键词:柯西不等式;赫德不等式;闵可夫斯基不等式;施瓦茨不等式Abstract:,wemainlydiscusssomegeneralizedformsoftheCauchyinequality,includingH?lderinequality,Minkowskiinequality,Schwartzinequality,:Cauchyinequality;H?lderinequality;Minkowskiinequality;(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowshy-Schwarz不等式,正因为是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。在我国的一般高校教育中,微积分、,这三门课存在很大差异,但与此同时它们却往往可以从不同的角度和方法对同一事物作出证明及解释。著名的柯西不等式及其推广形式在不同领域中的证明方式充分说明了人们思维的多样性、渗透性和完备性。认识这一点可以使思维更活跃,也可以使我们的学习更富有创造性。1 柯西不等式的几种推广形式定理1[3]设、为任意实数(i=1,2,…,n),则(1)其中等号当且仅当与成比例时成立。(1)式称为  Cauchy不等式。下面我们列举柯西不等式的几种推广形式的基本形式及变形[4],并给出证明。 赫尔德(H?lder)不等式赫尔德(H?lder)不等式是一个应用及其广泛的不等式。它在不同的空间有着不同的形式,同时也有着许多的变形及推广。 赫尔德不等式的基本形式 定理2[8]设满足则:,        (2)等号成立的充分必要条件是。证明 首先证明时,对任何正数A及B,,有:.令,代入以上不等式并对于,把这n个不等式相加得:,即,等号成立的充分必要条件是:, 赫尔德不等式在空间的相互关系的基本不等式(积分形式)定理3[1]设,,,,那么在上可积,并且.         (3)证明 首先证明当,时,对任意正数A及B,有.             (4)事实上,做辅助函数,则,所以在上,在上,因而在上的最大值,即,.由此可得       .令,代入上面不等式,,,则,(或),(),不等式(3)自然成立,所以不妨设,.作函数,.令,,代入不等式(4),得到.        (5)由(5)式立即可知在上可积,由此可知也可积,对(5)式的两边积分,      .(Schwarz)不等式[5]施瓦茨(Schwarz)不等式是一个应用极其广泛的不等式。它在不同的空间有着不同的形式,同时也有着许多的变形及推广。柯西不等式的积分形式就称为施瓦茨不等式。赫尔德不等式在空间的相互关系的基本不等式中,当时,便得到施瓦茨不等式。推论1设,在上可积,则(6),或与成正比,则等号成立。 闵可夫斯基(Minkowski)不等式闵可夫斯基(Minkowski)不等式在不同的空间有着不同的表现形式,下面我们来给出闵可夫斯基(Minkowski)不等式的基本形式以其变形与推广。[5] 若,且,则:.        (7)证明 令,即,由赫尔德不等式有:.又     ,所以      .同理      .两式相加得