文档介绍：第卷第期经济数学,
年月
矩阵正态统计分布的一个性质‘
朱慧明‘· 韩玉启
湖南大学统计学系,湖南长沙,南京理工大学经济管理学院,江苏南京,
摘要对于服从相同统计分布的两个维随机向量和,若关于的条件概论分布为多元正态分布
,下,溉,则由和构成的维随机向量也服从多元正态分布,并且利用条件分布和特
征函数的唯一性定理,证明了矩阵正态分布也存在类似结论
关键词矩阵正态分布,条件分布,特征函数,唯一性定理,谱半径
引言
众所周知,正态分布是应用极为广泛的一类统计分布,并且它有许多优良性质例如,对于
两个具有相同统计分布的随机变量和而言,文献〕、〕和给出了如下结论如果
一,护,〔
此处川护,丫。,则随机变量、服从均值为一,方差为丫一矿的正态分布,
并且二维随机向量,服从二元正态分布,其协方差,,丫一矿
对于正态随机向量情形,文献〕对提出了与之类似的结论,本文拟将该结论进行拓展,利
用随机变量的条件分布函数和特征函数等分析工具,对贝叶斯统计推断理论体系中常用的矩
阵正态分布情形的类似结论加以研究
预备定理的证明
在给出本文的主要结果之前,先证明多元正态分布的一个相关结论,即下面的定理
定理假设两个维随机向量和具有相同的概率分布,二产,
艺,并且
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此处是一个的矩阵,任”,么是一个的正定阵则下列结论成立
夕,夕表示的谱半径
。一艺、,,,乏一艺,,么、,,并且、一,。,乏
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证不妨设随机变量和的联合分布密度函数为了,,的条件分布密度函数
中国博士后科学基金、国家社科基金资助项目
收稿日期一一
一一经济数学第卷
为,而的边缘分布密度函数为刃由于,,么,因此,的
特征函数
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通过反复迭代,不难证明下式成立
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或其等价形式
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下写乙下写
令,则式右端的极限存在并等于必,因此矩阵级数艺、么、收敛,从而
,在此条件下,显然有
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第期朱慧明韩玉启矩阵正态统计分布的一个性质
据此,随机向量的特征函数物,可以简化为
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根据特征函数的唯一性定理,随机向量服从正态分布,材,习另一方面,随机向量与
的联合特征函数
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