文档介绍：§
§ 随机变量和分布函数
一、随机变量:
随机变量:我们在随机实验中测定的量。在实验中所得到的取值有随机性的量。随机变量的特点就是当实验条件一定时,实验结果仍不确定。
离散型的随机变量:因为它只有有限个或可数个可能的取值。
连续型随机变量:它们的取值是在某个区间中连续变化的。
第三章总体分布与抽样分布
离散型随机变量:例子,初生动物分为10只一组进行观察, 随机变量X 为雄性个数
X: 0 1 …… 10
P: P0 P1 …… P10
这样的表称为概率分布表,P称为概率函数,并记为:P(X=x)=p(x)
显然概率函数应满足:对任意可能结果x,有
p(x)≥0, 且
这里的求和是对一切可能的结果进行的。
二、分布函数
X 为某一个确定值的可能性都为0,我们通常关心的是X 取值在一个区间的概率。采用类似微分的概念,我们就有
称f(x)为随机变量X的密度函数,显然应有f(x)≥0,且可积
P(a≤X<b)=
为X落在[a, b]中的概率。
连续型随机变量
定义:设X为一随机变量,称函数
F(x) = P(X<x) (-∞<x<+∞) 为X的分布函数。
这个定义适用于离散型随机变量,也适用于连续型随机变量。连续型分布函数也可表示为密度函数的积分:
X的分布函数
我们研究随机变量的方法,大致有这样几种:
1.       分布列或分布表,它用于离散型随机变量,
密度函数,用于连续型随机变量。通过积分可以得到变量落入任何区间的概率。其性质为 P(X=x)=0,
3. 为了统一起见,我们又引入了分布函数:
F(x)=P(X<x) (-∞<x<+∞)
它用于任何随机变量。P(a≤X<b)= F(b)-F(a)
离散型: 连续型
总结
离散型随机变量X:我们感兴趣的它取哪些值xi,而且也要知道它取这些值的概率大小,即我们要知道:
P(X=xi) = p(xi), i=1,2,3,……
{ p(xi), i=1,2,3,……}称为随机变量X的概率分布,通常X的概率分布:
称为X的分布列或分布表。
而分布函数为:
F(x)=P(X<x)=
§ 离散型随机变量
1.    分布列为:
其概率模型是进行一次随机试验,成功的概率为p, 失败概率为q=1-p,若令X为成功次数,则X服从两点分布。
它的分布列为: X: 1 0
P: p q
∴E(X)=1×p+0×q=p
D(X) = E[X-E(X)]2=(1-p)2·p+(0-p)2·q
= q2p+p2q = pq
两点分布
如果进行n次独立试验,仍用X记成功次数,则有:
称它二项分布,是因为它是n次二项式(p+q)n的展开式的第i+1项。
=np
D(X) = E(X2)-[E(X)]2
= n(n-1)p2+np-n2p2
= np-np2
=npq
二项分布
连续型随机变量X可取某个区间[c, d]或(-∞,∞)中的一切值,且存在可积函数f (x),使
f(x) 称为X的(分布)密度函数,F(x) 称为X的分布函数。显然
这样,有了f (x),就可以计算X落入任何一个区间的概率,而 P(X=C) = 0
连续型随机变量
它的密度函数为:
其中σ>0,μ与σ均为常数。其分布函数为:
E(X)=μ
正态分布