文档介绍：:..求极限的方法摘要:本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法,并结合具体的例子,指出了在解题过程中常遇见的一些问题。关键词:极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重耍的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过來,我们也可以利用这些概念來求一些极限,所以运算方法繁多。针对这种情况,木文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。二具体方法1•利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①:若极限lim/(x)和limg(x)都存在,则函数/(x)±§(%),/(%)-g(x).r->x0 .v—当JCTJV。吋也存在且①limkw土g(x)l=lim/W士lim^WXT。 XTq XTXq②lim[/⑴•sM]=lim/W-limg⑴乂若则但在时也存在,且有w g(x)limXTXog(“)lim/。)XfY0lim?«利用极限的四则运算法则求极限,条件是每项或每个因了极限存在,一般所给的变量都不满足这个条件,如超、芋等情况,都不能直接用四则运算法则,000必须要对变量进行变形,设法消去分子、分母中的零因子,在变形时,要熟练掌握饮因式分解、冇理化运算等恒等变形。V2-4例1:求lim—x->2兀_Z解:原式二&2{;+2)=HmC+2)=oxt2 X—L x->22•用两个重要的极限来求函数的极限①利用lim沁i來求极限xtOXlim^=i的扩展形为:X->()X令g(x)T0,当xTX。或XT00时,则有g[x) .ig[x)=1例2:靭芝解:令1-7T-(龙一t)=sint,且当兀一>龙时/tO+/rtsinx sinr1収lim~—=lim~—=1xm兀—兀/->0 '例3:求limM^XT1 *一1解:原式=lin?世吸2汕)汀血+1).sinxx-»l (兀+1)("-1) XT1sin(F_i)二2x2-l②利用lim(i+丄)=电來求极限XTOO Xlim(i+丄)=*的另一种形式为XT8 X1lim(i+Q)"之•事实上,令cr->0=lim(i+Q)"gtO<=>cit().所以w=]im(i+丄)'A-»00 兀1例4:求Hm(i+2,的极限xt()解:原式二limx->0_1_1(1+2兀)云・(l+2萨利用这两个重要极限來求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只冇形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式吋才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。3•利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即=I•称fg与g(Q是xT兀。吋的等价无穷X»o小量,记作/(X)-g(x).(x->x0).定理2②:设函数/(兀),g(兀),力(兀)在d)(x())内有定义,且有/(X)〜g(x)・(兀一>兀0)①若lim/(x)g(x)=a,则limg(x)〃(x)=人X—>xo X—»勺②若1蚪芻"则li忠器"证明:①limg(x)"(x)=lim777lim心心=1•a=a②可类似证明,在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5:求nmtanx~s3inx的极限Hosinxsinx -ft?:曲tanx-sinx= (l-cosx).ffi]sinx〜x,{xT0);cos兀31-cosx ,(x—>0); sinx3-x3〜F,(x—>0)•2故有limxtOtanx-sinxsinx3二limx->01cosxx-2注:出上例口J以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一•些常用的■等价无穷小量,如:由于lim巴匕i,故有sinx~x,(兀T0).乂由于xtOx||j-qarctanx_],故有arctanx〜兀,(x—>O)・x->0 X另注:在利用等价无穷小代换求极限时,应该注意:只冇对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换,而对极限式屮的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式屮,若因有tanx〜兀,(xT0);sin兀〜兀,(兀->0).而推出恤WinCim二4=o则得到的结果是错误的。x->osinx x->