文档介绍：在数学中,通过对命题函项的分层以及对类型的限制,许多悖论就都可以避免,因为类型论的限制很强,罗素又引入还原公理使数学成为可能。在现实中,类型论可以解决日常语言与传统哲学中的许多问题,一个重要例子就是对“说谎者悖论”的解决,还原公理则使日常语言成为可能。但是,类型论面临现实中的复杂情况所带来的困难,还原公理则面临自身存在的合法性的困难,而罗素没有完全解决这些困难。尽管如此,类型论与还原公理仍是一种重要的超越的方法,虽然这种方法面临只能用信念来保证的困难。尽管不应该因为数学中的符号和日常语言中的词具有类型的模糊性就抛弃它们,但也不等于说对它们就不假思索地接受,应具备“分析的精神”。类型论与还原公理正是这种精神的集中体现。               罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的《算数的基本法则》完稿付印时,收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”从哲学上看,人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化,从而对相对静止思维形式和结构,以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外,上述努力对于反对诡辩和相对主义也有一定的意义。 悖论的存在价值 自然科学发展中的大量实例充分表明,悖论的出现虽然可以暂时引起人们的思想混乱,对科学研究正常开展形成一定的冲击,但更重要的是,它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾,对于揭露原有理论与概念的缺陷或局限性,对于进一步深入理解,认识和评价原有科学理论,对于原有科学概念或理论的进一步充实和完善。,就为有关科学研究提供了重要的研究课题。指明了研究的方向,爱因斯坦说过:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要,因为解决问题也许是数学上或世界上的技能而已。,从新的角度去看旧的问题却需要创造性的想象力。而且标志着科学的真正进步。”(5)因此,在自然科学研究中悖论或佯谬的出现,不应该视为一种灾难和绝望,而应把它视为科学理论将获得突破性发展的征兆,视为引导人们向未知领域探索的向导,,这种特殊的逻辑思维方法,,自觉使用这种方法,不断发现和提出新的悖论,以促进自然科学的进一步发展。对于大多数悖论,仍然无法进行回答。例如“我正在说谎”,这个悖论,传统的数学至今无法回答。    而真正要回答这一悖论,只有近几年发展起来的新兴学科——哲理数学能够做到。 哲理数学,被称为数学史上的第5次革命  数学迄今为止,已经历了四次革命   、  、      而哲理数学的提出,无疑将会是一个更大的飞跃。 其实,如果我们仔细分析这些悖论产生的原因,我们会发现,是因为我们在推理过程中一直在使用一条很重要的定律——“排中律”,我们总是简单的把事物划分为两种状