文档介绍：人教版高一数学函数————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点:有关映射与函数的概念,要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域;幂函数的图象和性质;单调性的概念;反函数的概念;要掌握函数的图象和性质;对数运算与指数运算的关系,对数式与指数式的互化;对数性质和运算法则;难点:映射的概念;幂函数的应用;用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间;反函数的求法;利用指数函数的性质,结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题;对数概念与各名称的意义的理解;注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数:(1)定义:1)传统定义:如果在某变化过程中有两个变量,并且对于在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有惟一确定的值和它对应,那么就是的函数,记为;2)近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ;上述两个定义实质上是一致的,只不过传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发,侧重点不同,函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域。这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集;(2)三要素:函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。2、函数的单调性:(1)定义:对于给定区间上的函数,1)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数;2)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当,都有,那么就说在这个区间上是减函数;(2)证明函数单调性的方法:1)用定义;2)利用已知函数的单调性;3)利用函数的图像;4)依据符合函数单调性有关结论;5)为增函数,为减函数;(3)函数的周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数叫做这个函数的周期;对于一个周期函数,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期:1)式子对定义域中的每一个值都成立,即对定义域中的任何,式子都成立,而不能是“一个”或“某些”;2)一个函数是周期函数,它并不一定就有最小正周期,如:(是常数),显然,对任何一个正数T,都有;这就是说,任何一个正数都是的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数不存在最小正周期。③设是的周期,那么且)也一定是的周期。3、反函数(1)反函数的意义:一般地,式子表示是自变量的函数,设它的定义域为A,值域为B、我们从式子中解出,得到式子。如果对于在中的任何一个值,通过式子,在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子就表示是自变量的函数,这样的函数,叫做函数的反函数,记作,即,在函数式中,表示自变量,表示函数。习惯上,一般用表示自变量,,把它改写成。1)与具有四性:A、互换性;B、对称性;C、奇偶性;D、单调性;2)和互为反函数,即或;3)求反函数的步骤:A、解出;B、交换,得;C、解出反函数的定义域(即原函数值域);4)互为反函数的两个函数图像关于直线对称;(2)反函数存在的条件:,只有原象具有唯一性的函数,即对任意的,能推断出成立的函数才具有反函数;(3)反函数与原函数的关系:1)原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;2)与互为反函数,设的定义域为A,值域为C,则有,;(4)反函数的求法:可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数,其步骤为:1)由解出;2)交换,得;3)根据的值域,写出的定义域。4、幂函数、指数函数、对数函数(1)幂、指数、对数式1)同底数幂的运算性质:①,②,③;2)根式的运算性质:①,②当是偶数时,当是奇数时;3)分数指数幂与根式的关系规定:①正分数指数幂,②正分数指数幂;4)对数及对数的运算性质:①定义:如果且),则数叫做以为底N的对数,记作,②对数恒等式:(a>0且a≠1,N>0),③对数的性质:(ⅰ)负数和零没有对数,(ⅱ),(ⅲ);④对数的运算法则:(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ);⑤换底公式:(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ);(2)幂函数1)定义:形如(是常数)的函数叫幂函数;2)幂函数的图像见图:3)幂函数的性质:①都过点(1,1);②除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数都不过第四象限;③时,幂函数图像过(0,0)且在(0,+∞)上是增函数;时,幂函数图像不过(0,0)且在(0,+∞)上是减函数;④任