文档介绍：:..1摘要 12关键词 13基本概念与定理 14有限区间上一致连续函数的判定 15无限区间上一致连续函数的判定 46一致连续性的应用 87参考文献 108英文摘要 10函数一致连续性的判定摘要:函数在区间I上的一致连续性与连续是两个不同的概念,后者是一个局部性概念,前者具有整体性质,它刻画了函数f(x),:函数、连续、一致连续、,在区间上一致连续的函数则一定连续,(一致连续):设函数/(X)在区间/上有定义,若V^>0,3^>0,Vx!,x2eI,当一兀时;有|/(x,)-/(x2)|<8,则称函数于0)在/:设函数/(X)在区间/上有定义,若日勺>0,\/5>0,玉|,勺W/,当X]-兀2〔<5时,有|/(^|)-/(-^2)|2£0,则称函数/(兀)在区间/上不一致连续.(Cantor定理人若函数/(无)在区间[d,b]连续,则/(兀)在区间[°,/⑴在[a问上一致连续的充要条件是函数/⑴在[/(兀)在(a,b)上一致连续的充要条件是函数/(兀)在(a,b)上连续且lim/(x),lim/(兀),因为函数/(力在(%)上一致连续,即Vg>0,m5〉0,Vx,yw(d,b),且卜有|/(兀)-/(刃|<£,显然函数/(兀)在(d,b)上连续,且Vg>0,m5>0,V兀],兀2丘仏b),当xl9x2e(a9a+S)时,当然卜|一吃|<5,有|/(^)-/(%2)|<^.根据柯西收敛准则,lim于(兀),lim/(x)->r/+ XTb一充分性,因为lim/(x),lim/(x)都存在,分别设为4和B,xf构造函数:A x-aF(兀)=</(x) xe(a,&)B x=b显然F(x)在[d,列上连续,由定理1可知:尸(兀)在[。问上一致连续,从而F(x)在(d,b)/(%)在仏切([a,b))上一致连续的充要条件是函数/(%)在(a,b]([a,b))上连续,且lim/(x)(lim/(x))->a' xib推论2若函数/(x)在有限区间/上连续、单调、有界、则函数/(兀)在//(兀)在区间仏b)((a,b)是有限区间或无穷区间)连续,则/⑴在(a,b)/[q,0]w(a,b),/(x)在[a,0]•用此条件能解决很多关于函数性质的证明题•其解题思路是把开区间上的问题转化到闭区间上,/(兀)在[a,列及[b,c]都一致连续,则/⑴在[a,c]:改血c]为[b,+0O)时,/(切在S问与阴一致连续,即:V^>0,日5[>0,VXj,x2e于是,有V£>0,36=min{^,d>2}>0,Vxpx2g[],当:1)x|5x2g[a,b]且卜|一兀2|<5,有|/(xj-/(兀2)|<彳 ;[%]且|x1-x2|<^1,有|/(x1)-/(x2)|<|;\/£>0,3S2>0,Vxpx2e[/?,(?]且卜]一兀2<爲,有|/(西)一/(兀)|V*!・月.%,-x2<8,3)x}g[^,x2g[^且-x2|<8 (xx-b<8 \x2-b<8)有|小)-/(兀2)|勻/(州)-/9)|+|/@)-/(兀2)|<才+才之即函数/(x)在[a9c]/⑴在仏b)上一致连续的充要条件是任给仏◎中收敛数列{xn},函数列{/(%„)},由于函数/(X)在(a,b)上一致连续,故对于\/s>0,3^〉0,当x\xng(a,b),且x-x<8时,有 <s设{暫}是(G,b)中任一收敛数列,由柯西条件对上述的5>0时,BN,当n,m>N时,有卜“-為|<门故-所以,函数列g)}也收敛・充分性,假设/(兀)在仏b)上不一致连续,即北)>0,对V戈〉0(取戈=丄),n玉“,儿且卜“一儿|<氏=丄,n由山一儿i<^4^°而1/(兀)-/(儿)|氓且{£}有界,故存在收敛子列{%}・(斤->8),故{儿}中相应的子列{儿」也收敛,且与{%}极限相同,