文档介绍：哈尔滨工业大学数学系引言动力系统的研究现状及分析非线性动力系统的稳定性和渐近稳定性解非线性不适定问题的渐近正则化方法求解非线性不适定问题的动力系统方法和离散化方法一、引言什么是动力系统?动态的;确定性;可预测性。动力系统研究的主要动因,是它在处理与我们周围世界的关系中随处可见的重要性。数学中的动力系统自然中的动力系统自然中的动力系统 例子(一)对踵之兔(澳大利亚)比萨斜兔(1202,Leonardo)“某人有一对兔子,养在一处四周被围墙围着的地方。我们希望知道,如果这对兔子每月生一对小兔,且新生的兔子在两个月大时便可繁殖,那么一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子。若第一对兔子在第一个月内生一对小兔,则兔子增加一倍,第一个月末便有两对兔子;第一对兔子在第二个月内生一对小兔,这样,第二个月末便有三对兔子。至此,一个月内会有两队兔子怀孕,从而第三个月末会有五对。于是,同一个月内会有三对兔子怀孕,从而第四个月末会有八对……加上第一个数与第二个数,即1和2,第二个数与第三个数,第三个数与第四个数……”蝴蝶效应(与周围隔离且季节变化较为恒定—不变法则及无外部影响)不变法则保证了次年夏天的数量仅依赖于当年夏天的数量,且这依赖关系每年都相同。指数增长的竞争例子(二)数学中的动力系统动力系统可看作是某个函数,反复地重复同一件事情。状态向量--准确地用数值描述了某一真实或假想系统的状态例:(1)垂直向上抛球:离地面的高度h和向上的速度v(2)银行账户本金100美元,按每年6%的利率,账户的收支平衡(3)全球各地的天气(温度、压力、速度等等)函数(或法则)--给定当前状态,下一时刻系统将往何处去例子根的寻找对分搜索(微积分中的介值定理)给定,考虑中间点Newton法(速度快,但不永远可靠)描述一个力学系统:状态参量;从一个状态点到另一个状态点的对应法则。具备这两个要素的系统自Poincaré以来被称为一个动力系统。状态点的集合称为相空间(phasespace)从相空间的一个状态点到另一个状态点的运动称为相流(phaseflow)下一时刻:离散时间函数(法则)决定了系统如何随时间改变:即已知系统当前状态,法则告诉我们系统下一时刻的状态。例:银行账户是系统在时刻k的状态。k代表离散时间。下一时刻:连续时间例:垂直向上抛球由于时间连续变化,没有下一“即时”时刻。此时我们用t表示时间,考虑系统在任意给定的时刻是如何变化的。球向上的速度是dh/dt=v;重力把球向下拉dv/dt=-g,因此,系统的改变为