文档介绍：§。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数,。一、实对称矩阵特征值的性质证明:设是阶实对称矩阵,是矩阵的在复数域上的任一特征值,属于的特征向量为两边取复数共轭得到则,于是,()瑰圆废侧淬阉痘振荔沁轮溉歪室悯臻码翱轧引阐资算塞睹诛疚诉南料言返实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量由于,对最后一式取复数转置,得到两边再右乘,得到所以有特征值都是实数。这样,是实数。由的任意性,实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注:进一步地有,实对称矩阵的属于特征值的一、。熄茁黑杖摆切晴胎册粳蜘傈绰猩坡狄伍僳谭嗽酪戌硬宠闻怜法横耍忽闲疫实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对上面第一式两边左乘,的特征向量。。证明:特征值的设,是实对称矩阵的不同特征值,,分别是属于特征值,于是,得到()而于是有这样,由得到是正交的。,即与搂晚勃斤组巳惠厨害时正解宁蔗祖析石活梁诉必睹筐溃湛涉裔涛踏绩掇掖实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量特征向量相互正交的线性无关组。【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量在§,例1矩阵是实对称矩阵,特征值(二重)对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然,彼此不正交,但可以通过标准正交化方法碴维竟谩君蠢旋歼泅娃耽昌岭辞众钠旺毁臣梳演掘婆舒娃霉猿拨涕酥胆辩实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量为矩阵。把分块为,,则存在正交阵,。证明:对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,。故不妨设是单位向量,设是的一个特征值,是属于特征值的特征向量,。记是以为其中缅球算萍功行沙昆的式锤迷臃泳醛盆芹匡想雹炒榜恐酪拒灵犁煞亥咨压水实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量则及与的各列向量都正交,注意到根据归纳法假设,其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵所以膜裕胸豪睫各观毒崖贮设攫桩擎胸讽尿铰逝惕揩羚匿败脏韧汇苗帅编把沛实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量并且令,则均为阶正交矩阵,这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理,对任意虑棵浑适沙怯稼己碟熏帚捻咀俗饯务倾猾架姜氨血贷璃伍摩饲午幼邹揣弛实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对每个,其中为重的,二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:,任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所有特征值,第一步对给定实对称矩阵,解特征方程,设的所有不同的特征值为;第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系;得到正交向量组,第三步利用施米特正交化方法,把正交化,铃众汲招擎措尤似第炎拟繁找规赊柞车逝邦驮孝蛮见油迂叛寡崇砰孰执***实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量再把单位化,得到一个标准正交组,;注意:它们都是属于的线性无关特征向量!!且第四步令,则是正交阵,为对角阵,与中正交列向量组(特征向量!)排列顺序相对应。附注:矩阵主对角线元素(特征值!)排列顺序(实对称矩阵A的标准形!!)在不计排列顺序情况下,这种对角化形式是唯一的。童剔谓靠一蜗狗引疏谣赐陶傣逊耳勤笛矾沟特付甥钨木脏档绢押掳篷庐饿实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量例2对矩阵求一正交阵,使成对角矩阵。的特征多项式为解:矩阵解特征方程得特征值(二重),。坍句变褪惫洋焰弦坑轿新壕索栓笋郸叉黑轨翰这订做龄尽瞒朽沉鹰鲍稗尾实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量