文档介绍：第7章小波与小波变换2016年11月8日第7章小波与小波变换2/ 二维小波变换方法2016年11月8日第7章小波与小波变换3/ 小波介绍?小波(wavelet)是什么?在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数?具有有限的持续时间和突变的频率和振幅?在有限的时间范围内,它的平均值等于零2016年11月8日第7章小波与小波变换4/ 小波介绍(续1)?部分小波?许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名,例如,?Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的?db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的图7-1 正弦波与小波——部分小波2016年11月8日第7章小波与小波变换5/ 小波介绍(续2)?1807: Joseph Fourier ?傅立叶理论指出,一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和,叫做傅立叶展开式?小波简史?小波变换(wavelet transform)是什么?老课题:函数的表示方法?新方法:Fourier-Haar-wavelet transform 2016年11月8日第7章小波与小波变换6/ 小波介绍(续3)where cos sinj te t j t?? ??? ?( ) ( )( ) ( ) ej tj tF f t e dtf t F??????????????????12?只有频率分辨率而没有时间分辨率?可确定信号中包含哪些频率的信号,但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候2016年11月8日第7章小波与小波变换7/ 小波介绍(续4)?1909: Alfred Haar?Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波,后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)2016年11月8日第7章小波与小波变换8/ 小波介绍(续5)?1945: Gabor?开发了STFT (short time Fourier transform)( , ) ( )where: ( ) signal ( )= windo(wing )functionj tgSTFT s t e dts tg tt?????????STFT的时间-频率关系图2016年11月8日第7章小波与小波变换9/ 小波介绍(续6)?1980:Morlet?20世纪70年代,在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换(wavelet transform,WT)的概念。?20世纪80年代, 开发了连续小波变换(continuous wavelet transform,CWT)?1986:?,用于分析函数?用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基,使小波分析得到发展2016年11月8日第7章小波与小波变换10/ 小波介绍(续7)?1988:Mallat算法?法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念,从空间上形象说明小波的多分辨率的特性,并提出了正交小波的构造方法和快速算法,称为Mallat算法[1]?该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法,其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位