文档介绍：罗素的类型论和还原公理及其哲学意蕴
作者:李巍指导教师:李国山教授
摘要:类型论是为解决悖论问题而提出的。在数学中,通过对命题函项的分层以及对类型的限制,许多悖论就都可以避免,因为类型论的限制很强,罗素又引入还原公理使数学成为可能。在现实中,类型论可以解决日常语言与传统哲学中的许多问题,一个重要例子就是对“说谎者悖论”的解决,还原公理则使日常语言成为可能。但是,类型论面临现实中的复杂情况所带来的困难,还原公理则面临自身存在的合法性的困难,而罗素没有完全解决这些困难。尽管如此,类型论与还原公理仍是一种重要的超越的方法,虽然这种方法面临只能用信念来保证的困难。尽管不应该因为数学中的符号和日常语言中的词具有类型的模糊性就抛弃它们,但也不等于说对它们就不假思索地接受,应具备“分析的精神”。类型论与还原公理正是这种精神的集中体现。
关键词:悖论类型论还原公理确定性
罗素是二十世纪分析哲学的杰出代表,他一生中最重要的著作就是和怀特海合作写成的《数学原理》。类型论注:许多书中把类型论分为简单类型论和分支类型论,但Principia Mathematica,1925年第二版(以后简称PM)中并没有这样的分类,故本文中不作此区分。
是《数学原理》的基础,还原公理是对类型论的重要补充,它们是罗素在《数学原理》中最具独创性、内涵最丰富的思想之一,也是一种重要的方法,体现了哲学的反思精神。通过它们,数学、日常语言以及传统哲学中的许多问题都可以得到解决。但是,尽管《数学原理》的重要性得到了公认,读者却非常少,而类型论和还原公理在其它书中出现得也非常少,即使罗素本人在这一理论上也经常变动,这使许多人都不了解甚至误解这一理论。本文将从《数学原理》中的有关内容出发,简要介绍这一理论和它在数学与现实中的应用,概述它面临的困难,说明它的重要意义以及体现出的精神。
类型论概述
类型论是为解决悖论问题而提出的,而解决悖论问题也是《数学原理》的主要目的之一。康托在1895年和1899年分别发现了他的集合论所包含的悖论,但直到1903年,这种困难才众所周知。悖论对数学的影响是巨大的,它动摇了数学的基础,历史上把这称为“第三次数学危机”。面对这一困难,罗素积极地着手处理悖论问题,在《数学的原理》(Principles of Mathematics
)中,他对悖论问题作了解释,并在《数学原理》中作了进一步的处理。
罗素对悖论问题的分析
罗素相信,集合论的悖论一定是逻辑的问题而不是数学的问题,因为它们本质上与最古老的说谎者悖论是一样的。对悖论问题唯一能令人满意的解决方式就是对逻辑加以改造,用一种革新的方法来消除它,而且这种方法应满足三个条件:一、所有的悖论必须消失。这是绝对必要的;二、应尽可能使数学保持原样。这虽然在逻辑上不是必要的,但最好具备,因为我们不想为了解决悖论问题而牺牲数学的范围;三、这种方法应具有一种自明的逻辑必然性。这些正是罗素在类型论中所想的东西。
罗素认为,悖论产生的根源是“恶性循环”,因此,他提出了“禁止恶性循环原则”:“‘涉及一个集合的所有元素的对象绝不能是这个集合的一个元素’,或者反过来说,‘如果一个集合有一个总体,它就会有只能用这个总体来定义的元素的话,这个集合就没有总体。’”见PM,。([英]罗素:《逻辑与知识》,苑莉均译,商务印书馆1996年版,第76页的翻译作者认为不确切,故不采用)
这个原则可以使我们避免因假定了非法总体而产生的恶性循环。
逻辑中的悖论涉及各种对象:命题、类、基数……罗素把它们归结为命题和命题函项具体方法参见PM,—84。
,而与数学相关的则是命题函项。
命题函项的分层
命题在数学中是指一个可以判断真假的语句或表达式,而命题函项(以下有时简称“函项”)则是含有变元(可以是多个)的表达式,当变元被赋予确定的值时,该表达式成为一个命题,函项用φx、ψx等表示。比如,“x是一个人”就是一个函项,如果把它视作φx,φ就可以视为“……是一个人”。这里应注意,φ、ψ等也可以成为变元,比如“苏格拉底是……”就可以视作ψ!a(这里“!”表示ψ是可变的),ψ可以取“聪明的”,也可以取“有死的”,所得到的命题分别是“苏格拉底是聪明的”和“苏格拉底是有死的”。命题函项与命题的区别就是它的未定性,这也是命题函项的本质特点见PM,。
。“类型”在《数学原理》中被定义为一个函项的意义域,意义域是指一些元素组成的集合,当该函项的变元取这个意义域中的任意一个元素作为值时,所得到的命题都有意义(指可判断真假) 详见PM,。
。由这个定义,一个函项的每个变元都只能取某一个类型的值,根据禁止恶性循环原则,一个函项的变元不能像