文档介绍：第20课

随机最大功效检验

在上一节的定理中,我们学α下进行最大功效检验(此时
δ∈ Kα),只要我们能找到c ,满足
⎛⎞fX( )
Ρ<1 c =α
1 ⎜⎟
⎝⎠fX2 ()
但该条件并非总能满足,特别当我们处理离散分布时,这点从下面的例子中可以清晰感
觉到,但如果我们回头去看定理的证明过程,就会发现该条件只有在保证似然比检验的第一
类误差为α时才必须。在以下定理中,我们会发现集 Kα的最大功效检验总是存在的,只要
在保证第一类误差为α的前提下随机切断两个假设的联系。
定理设存在α∈[0,1] ,总能找到 c ∈[0,∞) , p ∈[0,1] 满足:
⎛⎞⎛⎞fX() fX( )
Ρ<+−Ρ=11cp1 c=α()
11⎜⎟⎜⎟()
⎝⎠⎝⎠fX22() fX()
此时,最大功效检验δ∈ Kα为:
⎧ fX1 ( )
⎪Hc1 : >
⎪ fX2 ()
⎪
⎪ fX1 ()
δ= ⎨Hc2 : <
⎪ fX2 ()
⎪ fX
⎪ 1 ()
HH12或= c
⎩⎪ fX2 ()
其中,在最后一种相等的情况下,通过以概率 p 随机选择H1 并以概率1− p 选择H 2 切
断二假设之间的联系。
这种检验称为随机检验,因为需要我们随机地切断联系。
证明:首先假设可以满足式()的 c 值和 p 值,于是随机检验δ的第一类误差可
计称为:
⎛⎞⎛⎞fX( ) fX( )
α=Ρδα≠Hcp =Ρ11 < +1 −Ρ=c =
11() 1 1⎜⎟⎜⎟()1
⎝⎠⎝⎠fX22() fX()
fX( )
证明的多数部分下上个定理相同,我们只须指出当 1 = c 的情况下,随机检验仍
fX2 ()
是贝叶斯检验,贝叶斯检验允许任意切断,而我们在这里选择能够保证第一类误差为α的
方式随机切断联系,正如式()所示。
留下的唯一的问题是为什么我们总要去选择c 、 p 以满足()。如果我们将以下方
程看作为t 的函数,即
⎛⎞fX( )
1
Ft()= Ρ<⎜⎟t
⎝⎠fX2 ()
当t 从 0 增加到∞时,F ()t 会从 0 增加到 1。同时,我们须有概念,就是 F ()t 会突变。
现在有两个可能性:
(A)是在 t= c这点,函数 F (c) 将等于α,即:
⎛⎞fX( )
1
Fc()=Ρ⎜⎟<c =α
⎝⎠fX2 ()
(B)是在某点 t= c处,函数 F (c) 会发生跳跃,即:
⎛⎞fX( )
1
Fc()= Ρ<⎜⎟c<α
⎝⎠fX2 ()
但是
⎛⎞fX() ⎛⎞fX( )
11
Ρ≤=+Ρ=⎜⎟cFc() ⎜⎟ c≥α
⎝⎠fX22() ⎝⎠fX()
所以在(A)中,当 p = 1,或(B)中满足以下公式:
⎛⎞fX( )
1−=p ()α−Fc() Ρ⎜⎟1 =c
⎝⎠fX2 ()
时,则式()就得到满足。
例:假设有一观测X 服从贝努利分布,两个假设是关于概率函数 f ( X