文档介绍：函数的奇偶性————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 函数的奇偶性【学****目标】;;.【要点梳理】要点一、:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x):若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x):(1)奇偶性是整体性质;(2)x在定义域中,那么-x在定义域中吗?----具有奇偶性的函数,其定义域必定是关于原点对称的;(3)f(-x)=f(x)的等价形式为:,f(-x)=-f(x)的等价形式为:;(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f(0)=0;(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则必有f(x)=(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)如果一个函数为偶函数,则它的图象关于轴对称;反之,如果一个函数的图像关于轴对称,(1)求函数的定义域,判断函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;(2)结合函数的定义域,化简函数的解析式;(3)求,可根据与之间的关系,=-,则是奇函数;若=,则是偶函数;若,则既不是奇函数,也不是偶函数;若且=-,则既是奇函数,又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的,再判断与之一是否相等.(2)验证法:在判断与的关系时,只需验证=0及是否成立即可.(3)图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(轴)对称.(4)性质法:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.(5)分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时,,对自变量的不同取值范围,有着不同的对应关系,,,,然后将它代入相应段的函数表达式中,与对应不同的表达式,、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是减函数(增函数).【典型例题】类型一、:(1);(2)f(x)=x2-4|x|+3;(3)f(x)=|x+3|-|x-3|;(4);(5);(6)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】(1)非奇非偶函数;(2)偶函数;(3)奇函数;(4)奇函数;(5)奇函数;(6)奇函数.【解析】(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;(2)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;(3)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;(4),∴f(x)为奇函数;(5)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(6),∴f(x)为奇函数.【总结升华】,因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则,即优先研究函数的定义域,(4)中若不研究定义域,:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1); (2); (3);(4).【答案】(1)奇函数;(2)偶函数;(3)非奇非偶函数;(4)奇函数.【解析】(1)的定义域是,又,是奇函数.(2)的定义