文档介绍：弹性学制数学讲义不等式(4课时)★知识梳理1、不等式的基本性质①(对称性) a b b a②(传递性) a b,b c a c③(可加性)abacbc(同向可加性)ab,cdacbd(异向可减性)ab,cdacbd④(可积性)ab,c0acbcab,c0acbc⑤(同向正数可乘性)ab0,cd0acbdab0,0cdab(异向正数可除性)cd⑥(平方法则)ab0anbn(nN,且n1)⑦(开方法则)ab0nanb(nN,且n1)ab011;ab011⑧(倒数法则)abab2、几个重要不等式a2b2①a2b22aba,bR,(当且仅当ab"号)."变形公式:2ababa,bR②(基本不等式)2,(当且仅当b时取到等号).:用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.abc3abc(a、b、cR)(当且仅当③(三个正数的算术—几何平均不等式)3abc时取到等号).④aa,bR(当且仅当abc时取到等号).⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)(当且仅当abc时取到等号).若ab0,则ba2⑥ab(当仅当a=b时取等号)若ab0,则ba2ab(当仅当a=b时取等号)bbm1ana⑦aambnb,(其中ab0,m0,n0)规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.⑧当a0时,xax2a2xa或xa;xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式a b a b a (a,bR①平均不等式:ab22,当且仅当ab时取," "号).(即调和平均几何平均算术平均平方平均).变形公式:2b2;(ab)②幂平均不等式:a12a22...an21(a1a2...an)③二维形式的三角不等式:x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式:(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时,等号成立.⑤三维形式的柯西不等式:(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式:(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式:设,是两个向量,则,当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.⑧排序不等式(排序原理):设a1a2...an,b1b2...,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列,则a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...a1b1a2b2...anbn.(反序和乱序和顺序和),当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时,反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2)f(x1)f(x2)或f(x1x2)f(x1)f(x2).2222则称f(x)为凸(或凹)、不等式证明的几种常用方法常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,:(a1)23(a1)2;①舍去或加上一些项,如242②将分子或分母放大(缩小),1111,2212如k2,2,k(k1)kk(k1)2kkkkkk112(kN*,k1)、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)解集的步骤:一化::::::当二次项系数为正时,小于取中间,、高次不等式的解法:穿根法 .分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x)g(x)0(“或”时同理)规律:、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解f(x)a(a0)f(x)0fa2(x)⑴f(x)0f(x)a(a0)a2⑵f(x)f(x)0或f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0⑶f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑷f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑸f(x)g(x)规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解 .9、指数不等式的解法:⑴当a1时,