文档介绍：8 基本理论   杆的纵向波动(振动)方程考虑一材质均匀、截面恒定的弹性杆,长度为L,截面积为A,弹性模量为E,质量密度为ρ。取杆轴为x轴。若杆变形时平截面假设成立,受轴向力F作用,将沿杆轴向产生位移u、质点运动速度和应变,这些动力学和运动学量只是x和时间t的函数。由于杆具有无穷多的振型,则每一振型各自对应的运动量分布形式都不相同。由图8-1,杆x处的单元dx,如果u为x处的位移,则在x+dx处的位移为,显然单元dx在新位置上的长度变化量为,而即为该单元的平均应变。根据虎克定律,应力与应变之比等于弹性模量E,可写出(8-1)式中 σ为杆x截面处的应力。将(8-1)式两边对x微分,得(8-2)利用牛顿定律,考虑该单元的不平衡力(惯性力)列出平衡方程(8-3)合并(8-2)和(8-3)两式,得(8-4)定义为位移、速度、应变或应力波在杆中的纵向传播速度,得到如下一维波动方程(8-5)需要说明:一维杆的纵波传播速度与三维介质中的纵波(压缩波)传播速度不同,其表达式为cP(式中υ为介质材料的泊松比),相当于声波透射法中定义的声速,当υ=,cp=;υ=,cp=。 杆的纵向波动(振动) 分离变量法求解波动方程采用分离变量法求解波动方程(8-5),令其解具有如下形式u(x,t)=U(x)?G(t)            (8-6)代入波动方程得(8-7)由于式(8-7)左右两边分别与t和x无关,所以只能等于一个常数,令其等于并代入式(8-7),得以下两个常微分方程(8-8)(8-9)它们的通解分别为(8-10)(8-11)上两式中,ω(=2πf)为角频率;A,B,C和D为任意常数,分别由边界条件和初始条件确定。(1)杆的两端自由:此时,应力在杆两端必须为零。因为应力等于,则杆两端必须满足应变为零的边界条件(8-12)(8-13)因为方程(8-12)和(8-13)必须对任何时刻t都成立,故由式(8-12)得A=0,同时为保证振动的存在,B只能为有限值,则由式(8-13)得或          (8-14)式(8-14)即为杆的振动频率方程。相应的固有振动频率为或  (n=1,2,3,…)         (8-15)利用初始条件,得到方程(8-5)在两端自由和零初条件下的位移特解为(n=1,2,3,…)         (8-16)上式表明:两端自由杆的纵向振动为具有n个节点、幅度为u0的余弦波形式,是与各阶固有频率对应的振型函数,其前三阶振型曲线见图8-2。(2)杆的一端自由、一端固定:此时的边界条件为和 导出频率方程为或  (n=1,2,3,…)  (8-17)相应的固有振动频率和一端自由、一端固定条件下的位移特解分别为或  (n=1,2,3,…)     (8-18)(n=1,2,3,…)    (8-19)上式表明:一端自由、一端固定杆的纵向振动也是n个节点的余弦波形式,其前三阶振型曲线见图8-3。 采用行波理论求解波动方程当沿杆x方向的弹性模量E,截面积A,波速c和质量密度ρ不变时,采用行波理论求解波动方程(8-5),不难验证下式为波动方程的达朗贝尔通解(8-20)式中Wd和Wu为任意函数。考虑u=Wd(x–ct)位移波形分量,其值可由变量x–ct即x和t的变化范围确定。如果设c=5000,则方程u=Wd(100)满足下列条件:t=0时x=100,t==110,t==120,……。可见,波形函数Wd以波速c沿x轴正向传播;同样可证明波形函数Wu以波速c沿x轴负向传播。我们把Wd和Wu分别称为下行波和上行波。Wd和Wu形状不变、且各自独立地以波速c分别沿x轴正向和负向传播的特性是解释应力波传播规律的最直观方法,见图8-4。同时,因方程(8-5)的线性性质,我们可单独研究上、下行波的特性,利用迭加原理求出杆在t时刻x位置处的合力、速度、位移。           图8-4 下(右)行波和上(左)行波的传播作变换,分别求对x和t的偏导数,即(8-21)(8-22)为了将一维杆波动理论方便地用于桩的动力检测,本篇考虑在实际桩的动力检测时,施加于桩顶的荷载为压力,故按****惯定义位移u,质点运动速度V和加速度a以向下为正(即x轴正向),桩身轴力F,应力σ和应变ε以受压为正。则由式(8-21)和(8-22)并改变符号有(8-23)利用(8-23)式,根据,不难导出以下两个重要公式(8-24)(8-25)上式中,ρc和ρcA称为弹性杆的波(声)阻抗或简称阻抗,当杆为等截面时,(式中m为杆的质量)。另外,后面将用到以下恒等式(8-26a)式中等号右边第一项称为下行力波Fd(也简称为下行波),第二项称为