文档介绍：2nonnl(-1)SnT1、行列式n行列式共有n个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式;代数余子式的性质:Aij和aij的大小无关;某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:Mij=(-1)i+jAijAij=(-1)i+jMij4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1=(-1)n(n-1)2D;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2=(-1)n(n-1)2D;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3=D;5.将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;=D;②、副对角行列式:副对角元素的乘积´(-1)n(n-1)2;③、上、下三角行列式(◥◣=):主对角元素的乘积;④、◤和◢:副对角元素的乘积´(-1)n(n-1)2;⑤、拉普拉斯展开式:AOAC==AB、CBOBCAOA==(-1)BOBCmgnAB⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于n阶行列式A,恒有:lE-A=l+åk=1kn-kk,其中Sk为k阶主子式;.证明A=0的方法:A=-A;反证法;构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解;④、利用秩,证明r(A)<n;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵A是n阶可逆矩阵:ÛA¹0(是非奇异矩阵);Ûr(A)=n(是满秩矩阵)ÛA的行(列)向量组线性无关;Û齐次方程组Ax=0有非零解;Û"bÎR,Ax=b总有唯一解;ÛA与E等价;ÛA可表示成若干个初等矩阵的乘积;ÛA的特征值全不为0;ÛAA是正定矩阵;nn**=(A)(A)=(A)(A)*=(A)(A)=BA(AB)=BA(AB)-1A2èA-1-1AOç÷-1Aæ-1-1OBOBæ-1-1BOAOæ-1-1-1-1OBOBæ-1-1-BCACBBOOr-1:-1-1r-1:2.ÛA的行(列)向量组是R的一组基;ÛA是R中某两组基的过渡矩阵;对于n阶矩阵A:AA=AA=AE无条件恒成立;3.-1**-1-1TT-1TT*TTT***(AB)-1=BA-1矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若A=æA1öç÷ç÷çO÷ç÷sø,则:Ⅰ、A=A1A2LAs;Ⅱ、A=æA1öç-1÷ç2÷ç÷ç÷èsø;æAOöAOöç÷=ç-1÷èøèøæOAöOBöç÷=ç-1÷èøèø;(主对角分块);(副对角分块)æACöA-ACBöç÷=ç-1÷èøèøæAOöAOöç÷=ç-1-1-1÷èøèø;(拉普拉斯);(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m´n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F=æErOöç÷èøm´n;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)ÛA:B;行最简形矩阵:只能通过初等行变换获得;每行首个非0元素必须为1;每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(A,E)(E,X),则A可逆,且X=A;c对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:(A,B)~(E,AB);求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),则A可逆,且x=Ab;初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;-1=E(i,j),例如:1=1111k111-1=1(k¹0);111Tç÷ç÷001n-11mn-mmn-11n1nnnCabnn(n-1)LL(n-m+1)n!m0n1g2g3gLgmm!(n-m)!mn-mmmm-1nCrC=nC=2ï*ïî②、L=æççççèl1l2Oö÷÷÷÷lnø,左乘矩阵A,li乘A的各行元素;右乘,li乘A的各列元素;③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)-1æ1öæ1öç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø;④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))-1=E(i()),例如:kæ1öç÷ç÷ç÷èø-1=æ1öç÷ç÷çk÷ç÷èø(k¹0);⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))-1=E(ij(-k)),如:æ1köæ1-köç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø5.