文档介绍：毕业设计题目:刚性系统的隐式RK方法学院:数理学院专业名称:信息与计算科学学号:201241210127学生姓名:丁楠指导教师:汪玉霞2016年05月15日摘要本文主要介绍单步隐式Runge–Kutta方法,简要的介绍了Gauss型隐式Runge–Kutta方法、Radau型隐式Runge–Kutta方法和Lobatto型隐式Runge–Kutta方法。并利用这些基本的隐式Runge–Kutta方法来对刚性方程组进行数值求解,并将隐式Runge–Kutta方法与显式经典Runge–Kutta方法求解的结果进行对比,说明两种数值解法的优缺点。关键词:刚性系统隐式Runge–Kutta方法单步方法Newton迭代法AbstractThispapermainlyintroducestheImplicitRunge-KuttaMethodsandasimpledescriptionofGaussimplicitRunge-Kuttamethod,RadauimplicitRunge-KuttamethodandLobattoimplicitRunge---paredwiththeclassicalexplicitRunge-:StiffsystemImplicitRunge- 114隐式RK方法的实现 135数值实验与结果分析 15参考文献 18附录 '=Ay+φ(t)A为m×m的矩阵,特征值为λi(i=1,2,⋯,m)。定义1[23]若一个系统满足(1)Reλi<0,i=1,2,⋯,m(2)maxiReλiminiReλi=R≫1其中R为刚性比,则这个系统称为刚性系统。定义2[27]若线性系统y'=Ayx∈0,T或非线性系统y'=f(x,y)x∈0,T的矩阵A或Jacobi矩阵∂f∂y的特征值λi满足max1≤i≤mReλi≫1则其是刚性的。定理1(解的存在性与唯一性)(1)对于所有x,y∈D,函数fx,y是连续的;(2)对于任何x,y,(x,y*)∈D,存在常数L,是函数满足fx,y-f(x,y*)≤Ly-y*则初值问题y=fx,ya≤x≤bya=η有唯一解。其中y=(y1,y2,⋯,ym)T,D=x,y|a≤x≤b,-∞<a<b<∞;-∞<yi<∞,i=1,2,⋯,m。其中L被称为Lipschitz常数定义3如果一个常微分系统的Lipschitz常数L很大(大于20),则它是刚性的。,Runge–Kutta方法是目前应用最为广泛的数值解法之一,同时又具有误差小,精度高的特点。尽管显式Runge–Kutta方法能够非常准确、快速的给出大部分常微分方程组的数值解。但是在化学、自动控制电力系统等领域中,会出现一些病态的常微分方程组,也就是刚性方程组。刚性方程组对于数值解法的稳定性要求苛刻,比如方程组y1=--,y10=2y2=-100y2,y20=1将其表示为矩阵形式:y1y2=---100y1y2令A=---100发现A特征值为:λ1=-100,λ2=-,刚性比s=λ1λ2=10000≫1。方程组的解为:y1x=e-100x+e-=e-100x快瞬态慢瞬态解由快瞬态和慢瞬态两部分构成。由于慢瞬态的部分,y1x衰减变得十分缓慢。当自变量变到x=391时,函数值还未下降到初值的1%,求解区间至少取为(0,391)。另一方面,由于快瞬态的部分,y2x衰减的非常快,因此步长要取得非常小。从绝对稳定性的方面来看,如果用四阶显式经典RK方法求解,绝对稳定区间要求λhϵ(-,0),则