曲线的切线和法面、密切面.doc

文档介绍：§、切线和法面、密切平面假设中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。切向量的定义及求法z对曲线进行研究,从曲线的割线及割线的极限入手。定义如图给出曲线上一点,点是曲线上邻近的一点,经过和的直线称为曲线的一条割线。当点沿着曲线趋近于点时,若割线趋近于一定的位置,则我们把这个割线的极限位置称为曲线在点处的切线。而定点叫做切点。直观上看,切线是通过点的所有直线当中最贴近曲线的直线。设曲线的参数方程是,。设是该曲线上的一点,记为,,给一个增量,考虑曲线上的另外一点记,;则有,在割线上作向量,使得;当(即)时,如果有着确定的极限,则,根据曲线的切线的定义,那么这个极限就是切线上的一向量,称它为曲线在点处的切向量。也就是说,定义为曲线的切向量,用来表示。(2)切向量的求法因为,令得。特别,对平面曲线,①:,切向量为切线的斜率。②曲线切向量为切线的斜率。平面曲线的切线方程和法线方程。例1、求圆的切向量。解:切向量是所以,这表明与垂直。二、切线方程曲线在点处的切线方程为,,,,这称为切线方程的点向式。三、曲线的法平面经过切点而垂直于切线的平面,称为曲线的法平面或法面。下面导出曲线的法平面方程。设曲线上一点,它所对应的参数为,点的向径是,是法面上的任一点,则由,得,若设,,则得法面方程为。四、,如果,则称是曲线的一个奇点。如果,称为是曲线的一个正则点(或正常点)。例如,,,是曲线的一个奇点,其它点为正则点。由,得,在处不可导。画出曲线图象。例曲线,,,,当时,有,均为曲线的奇点,其它点为正则点画出曲线图形。注:,是奇点,,不是奇点,表示同一条曲线,原因是变换不是正则的。定义如果曲线全由正则点组成,则称这条曲线是一条正则曲线。设曲线,,如果切向量的三个分量都是上的连续函数,并且,则称曲线是一条光滑曲线。设曲线(),如果在上连续,