文档介绍：以上讨论的抛物样条曲线和三次参数样条曲线的共同特点是生成的曲线通过所有的型值点,即所谓的“点点通过”。但是这存在以下的问题。1问题的提出 实际设计飞机或汽车外形时,由测量仪器取得的型值点数据即三维坐标值本身并不十分精确,按照并不精确的数据进行精确的插值计算不能绘制准确的曲线。 抛物样条曲线和三次参数样条曲线在外形设计中缺少直观性和灵活性,例如为了调整一小段曲线的形状而改变一个点时,曲线可能出现小鼓包或小凹坑等现象,直接影响曲线的平滑。这时必须改变一批型值点,观察效果后继续调整,直到满意为止。这种做法显然不直观也不灵活。2问题的解决 由于以上原因,1962年法国雷诺汽车公司的贝塞尔提出了一种新的参数表示法,称为贝塞尔曲线(Bezier)。以这种方法为主,完成了一种曲线和曲面的设计系统UNISURF,并于1972年在雷诺公司应用。 贝塞尔曲线将函数逼近与几何表示结合起来,使得设计师可以直观地通过改变参数来改变曲线的形状和阶次。贝塞尔曲线利用控制点(即顶点)而不是通过型值点,来直观而方便地调整曲线的形状,贝塞尔曲线仅通过起始点和终止点,而不通过其它的型值点。3贝塞尔曲线举例从应用的角度贝塞尔曲线相比抛物样条曲线有着巨大的改进。利用抛物样条曲线描述物体外形时,由于曲线通过各个型值点,所以每次调整曲线改变外形都需要重复地改动一系列型值点的坐标值,而画出曲线很可能出现局部和整体的不协调不圆滑,操作过程繁杂、易错、生硬。贝塞尔曲线则利用型值点以外的控制点调整曲线,控制一点而影响一段曲线,即可以随意改变曲线的局部,又可以兼顾曲线的整体,由于不涉及具体个别的点,所以也不会出现不圆滑的现象。4贝塞尔曲线的性质曲线拟合方法:贝塞尔曲线不象抛物样条曲线那样由型值点确定,它通过一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。多边形折线又称特征多边形,顶点又称为控制点。曲线的次数:在多边折线的各个顶点中,只有第1点和最后1点在曲线上。顶点用于定义曲线的阶次和形状,如n+1个顶点定义n次多项式。下图中4个顶点定义一个唯一的三次贝塞尔曲线。曲线的形状:曲线的形状趋向于多边形折线的形状,若改变顶点则改变曲线形状,因此它被用于外形设计。曲线的端点:特征多边形的第一条边和最后一条边表示出起点和终点的切线方向。顶点起始点终止点多边形折线(特征多边形)贝塞尔曲线贝塞尔曲线的例子:《计算机绘图原理及应用》陆润民p159《计算机图形学》;孙家广p277《计算机图形学基础》唐p875贝塞尔曲线的数学表达式Bezier曲线的数学表达式(唐泽圣P88)Bezier曲线的数学基础是在第1个和最后一个端点之间进行插值的多项式混合函数(调和函数),它可以用参数方程表示如下:这是一个n次多项式,具有n+1项。其中表示特征多边形n+1个顶点的位置向量。Bi,n(t)是伯恩斯坦多项式,称为基底函数,也就是曲线上各个点位置矢量的调和函数,它表示为:其中i表示第i个顶点,n表示n次,t为参数。bezier曲线特性分析根据伯恩斯坦多项bernstein基函数的性质可以推导出贝塞尔曲线性质。曲线通过起始点与终止点可以证明起点和终点在曲线上,规定另:0!为1。 展开曲线为:(当n=0,1,2,3时)当t=0,(参数的起点);i=0,(第1个顶点)时,曲线 (∵ti=00=1,∴第1项为P0,∵0i=0,∴其余