文档介绍：四、测试系统的动态特性
(一)线性系统的数学描述;
(二)用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性;
(三)测试系统对典型激励的响应函数;
(四)测试系统对任意输入的响应;
(五)测试系统特性参数的实验测定;
测试技术(6)
王伯雄
(一)线性系统的数学描述
动态测量中,测试装置或系统本身应该是一个线性的系统:
我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理;
在动态测试中作非线性校正还比较困难。
线性系统的输入——输出之间的关系:
x(t)为系统输入;y(t)为系统输出;An, …a0,bm, …b0为系统的系统的物理参数,若均为常数,方程便是常系数微分方程,所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变系统。
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线性时不变系统的基本性质
叠加性
如有x1(t) →y1(t), x2(t) →y2(t);则有
x1(t)+ x2(t) →y1(t)+ y2(t)。 ()
比例性
如有x(t) →y(t),则对任意常数a,均有
ax(t) →ay(t) ()
微分特性
如有x(t) →y(t),则有
积分特性
如有x(t) →y(t),则当系统初始状态为零时,有
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频率保持性
如有x(t) →y(t),若x(t)=x0ejωt,
则y(t)=y0ej(ωt+φ)。
证明:按比例性有
其中,ω为某一已知频率。
根据微分特性有
两式相加有
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由于x(t)=x0ejωt,则

因此式()左边为零, 亦即
由此式()右边亦应为零,即
解此方程可得唯一的解为
其中φ为初相角。
(二)用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性
传递函数
若y(t)为时间变量t的函数,且当t≤0时,有y(t)=0,则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为
式中s为复变量, s=a+jb,a>0。
若系统的初始条件为零,对式()作拉氏变换得
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将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H(s),即

传递函数特性:
传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变,它仅表达系统的特性;
由传递函数H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入x(t)都明确地给出了相应的输出 y(t);
等式中的各系数an,an-1,…,a1,a0和bm,bm-1,…,b1,b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的常数。
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频率响应函数
对于稳定的线性定常系统,可设s=jω,亦即原s=a+jb中的a=0,b= ω,此时式()变为
上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。我们有
H(jω)称测试系统的频率响应函数。
频率响应函数是传递函数的特例。
频率响应函数也可对式()作傅立叶变换来推导得到,请自行推导。
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传递函数和频率响应函数的区别
在推导传递函数时,系统的初始条件设为零。而对于一个从t=0开始所施加的简谐信号激励来说,采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成:由激励所引起的、反映系统固有特性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态输出。
对频率响应函数H(jω),当输入为简谐信号时,在观察的时刻,系统的瞬态响应已趋近于零,频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。
用频率响应函数不能反映过渡过程,必须用传递函数才能反映全过程。