文档介绍：§5 电势及其梯度
一、静电场的环路定理
已知电荷分布,利用电场叠加原理、高斯定理可计算电场分布,但因为矢量,不够方便,可引入另一物理量——电势来研究问题方便。
1、静电场力做功与路径无关。
做功与路径无关,只由起点、始点位置决定的力——保守力,下面由库仑定律结合力的叠加原理证明静电力是保守力。
(1) 点电荷形成的场中电场力做功
在点电荷形成的电场中,由,如图1-26(a)所示,电场力做功计算如下:
∵
∴
表明:此情况下,电场力做功与路径无关。只决定于始、末位置、。
(2) 任意带电体系的电场中场力做功
∵
∴
a
b
I
II
起点
q0
由(1) 知,该式每一项均与积分路径无关,故场力之功也与路径无关。证毕#
(a) (b)
图1-26
保守力的另一等价数学表示:据上述成两路线a I b、a II b,如图1-26(b),有
即

亦即

意义表明:在电场中移动一周电场力做功为零。
2、静电场是保守场——环路定理
由上述可知

即静电场的环流为零。表明:静电场力移动单位正电荷一周做功为零。有这一结论,才能引入电势,即保守场中有势、势能等概念。
二、电势差和电势
1、外力做功
处在静电场中的点电荷,在一个与电场力大小相等、方向相反的外力的作用下,以非常缓慢的速度由场内一点(如点)沿任路径至另一点(如点),外力之功为:
即外力之功等于电场力之功的负值,因与路径无关,故也与路径无关。又,故所受合力:,未改变(物体)的动能。(故此部分不涉及动能的讨论)。
若,则电场力做负功,即,称外力反抗电力做功;若〈0,则电场力做正功,即,称电场力反抗外力做功。
2、电势能
静电力为保守力,外力反抗保守力做功,虽然不改变物体的动能,但要改变物体势能。在静电场中可引入静电势能:外力反抗保守力做功等于物体系势能的增量;对于静电场中,外力反抗静电力做功则应等于电荷处在场中的静电势能(用表示)的增量:
或
其中,、分别为电荷在场中P、Q点的电势能。
上述表明:电场力做正功,则是以减少电势能为代价;电场力做负功,则电势能增加。释义如下:
若,则,得,末的电势能比初的电势能低。
着重指出几点:
(1) 电荷在之场中任一点具有一定的电位能W,此W是体系所共有的的,实为与的相互作用能,故W不能完全反映场性质。(如同库仑力反映与两因素一样,故W不能用于描述场)。
(2) 电势能差是绝对的:,与电势能零点参考的选取无关;但电势能是相对的,即与电势能零点的选取有关。
例:当距无限远时,相互作用能为零,,故场中某点P处的电势能等于场力将由该点移至无限远所做的功:
(3) 电势能是标量,有正、负之分,电势能的高、低点要从体系考虑。
3、电势差及电势
与之比与无关,仅反映场属性,此即电势。
电势差
即单位正电荷在场中、两点的电势能之差,反映场本身在P、Q两点的属性。
电势
①用电势能定义:

②用电势差定义:若选点电势为0作为参考,则点电势为
对于电荷分布在有限域,常选,有
实用中,选大地电势为零参考,。
需要指出:
,具有绝对意义;而电势则不然。
(即电压)与电势的关系为

4、电势能和电势的单位
在SI制中,电势能和电势的单位均为导出单位。
电势能——同于能量单位:焦耳(J)。
,,,。
电势——移动单位正电荷之功:伏特(V)。
,。
5、综述说明
(1) 区别电势与电势能
空间某点的电势与有否试探电荷无关,反映电场本身的性质;
电势能则与场中某点的大小正、负有关,为场及试探电荷所共有。
(2) 电势是标量,有正负、高低之分。

⊝
•
源 P
∞
♁
•
-
源 P
∞
某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图1-27加以分析,其中设、本身代表正电荷:

(a) (b)
图1-27
结论:
电势能高低
推论: i) 正场源电荷的场中,近电荷处高;负场源电荷的情况则反之。曲线如图1-28所示。
(a) (b)
图1-28
ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点;负电荷则相反。
iii)沿电力线方向电势逐点降低。
三、电势的计算
1、方法之一:场强积分法
已知场分布,代入,选取合适积分路径,即可计算、两点的电势差。若取,则当电荷分布在有限区域时,可选,则。
例1:试求点电荷电场中的电势分布。
如图1-29(a),由场强积分法可得
例2:求均匀带电为、半径为R的薄球壳的电势分布。
如图1-29(b),由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性
可