文档介绍：问题的提出
结构图的分析和化简是研究自动控制系统的第一步, 它也是信号流图的另一种形式. 对于比较复杂的信号流图,最早提出通用解法的是梅森[1][2], 许多教材至今都以此方法为经典. 但梅森公式证明很困难,只能让学生死记硬背, 用起来也很易出错, 因为它用图形拓朴的方法分析, 不容易编成程序, 无法实现机算, 所以实际上并未得到应用. 目前在所有的大学控制类教材中实际使用的多是针对简单系统导出的并联, 串联和反馈公式, 对于复杂的系统, 必须把它的方框按三种简单情况, 合二为一地逐次化简, 直到最后成为一个方框为止.
在科学计算软件已高度发展的今天, 有些软件(例如MATLAB)已有了专门针对控制系统的工具箱, 不过它对结构图的化简仍然依靠对这三种简单情况所导出的函数, 每次把两个方框合成一个. 这样逐次处理的方法, 其缺点一是繁琐, N个方框就要作N-1次运算;二是难以处理多输入多输出(MIMO)系统;三是并不是所有框图都能化为这三种情况的合成的, 为了凑成这种结果, 往往必须把框图中的某些综合点或分叉点移位, 结果将改变这些点及其邻近点变量的物理意义, 这是系统分析中的大忌. MATLAB中也有一组化简全系统特性的函数,主要是connect函数[3], 但它的过程仍相当繁, 计算的原理对用户不透明,特别是合成结果仅限于状态方程模型, 物理意义不清晰, 不受实际工程人员的欢迎.
对分析线性控制系统特性这么一个重要的核心问题, 我们需要给学生和工程技术人员一种概念清楚, 容易记忆, 能同时计入所有环节和全部输入输出, 快捷准确的方法. 显然, 这个方法必须要利用计算机海量数据批处理的能力, 而不是每次只处理两个环节的传统做法, 因此对系统原始方程进行矩阵建模是一个最好的方法.
基本原理
系统结构框图中的每一个箭头代表一个信号, 每一个方框中的函数为信号经过它时所作的数学变换, 即输出信号等于输入信号乘以该函数, 综合节点的输出为输入信号的和, 分叉节点则把同样的信号分送到几个方框, 如果图中共选择了N个系统信号(状态变量)xj(j=1, 2, …, N)和M个输入信号ui(i=1, 2, …, M), 则其中任何一个信号xj都可以用包括自身在内的N个系统信号和IM个输入信号来表示, 即: (1)
如果这些数学关系都是线性的, 则各方程将是线性方程, 它们构成的方程组可用矩阵表示, 写成:
或
(2)
写成矩阵形式, 应为:
(3)
用矩阵符号表示为:
(4)
图1 系统结构图实例
其中:为N维状态列向量, 为M维输入列向量, Q为N×N维的联接矩阵, P为N×M维的输入矩阵, Q和P的元素qji和pjk是各信号节点之间的传递系数. 移项后, 上式可写为:
如果矩阵(I-Q)可逆(凡是有解的系统都能满足此条件),即可由此得到各输入ui对各信号xj的传递函数公式:
(5)
W是N×M维矩阵, 即包含由M个输入引起N个状态之间的N×M个传递函数. 根据这个简明的公式, 只要写出P和Q, 任何复杂系统的传递函数都可用这个简单的式子求出. 这个矩阵方程并不难导出, 由于它的阶数等于系统中的变量数N, 手工求N阶矩阵的逆就叫人望而生畏. 所以各种求系统传递函数的方法无非都是想在求逆矩阵(I-Q)-1方面找到某些规律,