文档介绍：一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结一、多元函数的极值和最值设函数),(yxfz?在点),(00yx的某邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx:若满足不等式),(),(00yxfyxf?,则称函数在),(00yx有极大值;若满足不等式),(),(00yxfyxf?,则称函数在),(00yx有极小值;1、二元函数极值的定义极大值、)0,0(4322yxz??)0,0(22yxz???)0,0(xyz?(3)(2)(1)定理1(必要条件)设函数),(yxfz?在点),(00yx具有偏导数,且在点),(00yx处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:0),(00?yxfx,0),(00?、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz?在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意?),(yx),(00yx都有?),(yxf),(00yxf,证故当0yy?,0xx?时,有?),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx?处有极大值,必有0),(00?yxfx;类似地可证0),(00?:如果三元函数),,(zyxfu?在点),,(000zyxP具有偏导数,则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000?zyxfx,0),,(000?zyxfy,0),,(000?,点)0,0(是函数xyz?的驻点,但点(0, 0),凡能使一阶偏导数同时为零的点,:如何判定一个驻点是否为极值点?注意:;0)0,0(,??)0,0(,??yyzxz定理2(充分条件)设函数),(yxfz?在点),(00yx的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又0),(00?yxfx, 0),(00?yxfy,令Ayxfxx?),(00,Byxfxy?),(00,Cyxfyy?),(00,则(1)02??BAC时具有极值,且当0?A时有极大值,当0?A时有极小值;(2)02??BAC时没有极值;(3)02??BAC时可能有极值,也可能没有极值,),(yxfz?极值的一般步骤:第一步解方程组,0),(?yxfx0),(?),(00yx,求出二阶偏导数的值A、B、?的符