文档介绍：裘宗沪教授、朱华伟、冯祖鸣、吴伟朝教授、钱展望讲座2研讨题221.(第29届IMO)设,其中[x]表示不超过x的最大整数,证明:(1)a,(n,1),nn有无穷多个正整数m,使;a,a,1m,1m(2)有无穷多个正整数m,,a,1m,1m2n,3,[2(n,1)],a,[2n],2n略析:易知(*)n2222由此可得,,n,(n,1),(n,1),n,4n,2a,1n2222于是有(**)a,[n,(n,1)],[a,4n],[a,2a,1],a,1n,nnnn1若(1)不成立,由(**)式知,存在自然数N,使得对任意k.,Na,a,1k,1k由此可得a,a,k,k,0,1,2,3,...N,kN再由(*)得到对任何非负整数k,有2(N,k),3,a,k,(2,1)k,a,3,2N(***)NN由于N是固定数,显然当k足够大时,(***)不成立,引出矛盾,于是(1)(2)式不成立,由(**)式知存在N,使得对任意k,,a,2,k,1k由此得,a,a,2k,k,0,1,2,3,?N,kNa,2k,2(N,k)再由(*)式得,即对非负整数k有N(2,2)k,2N,a(****)N从(****)引出矛盾,从而(2),证明:当且仅当f不能写成平方和f=g+h(g,h为实系数多项式)的形式且degg,degh时,,.(接3月9日第(2)题)()21个男孩和21个女孩参加一次数学竞赛:(i)每一个参赛都至多解出了6道题;(ii)对于每一个女孩和每一个男孩,:有一道题,:设b<<2,g<<2,则(b-2)(g-2)<<1,iiii即,而,bg,2(b,g),3|bg|,1iiiiii易知441,bg,2(b,g,3),2(6,21,6,21),3|P|,,iiiii,Pi,P可得(**)|P|,2121[],1,4对,由(i)知,至少有一题有个男生做出,至多2个女生做出,而g,G621,[],1,11,故题数;|G|,21221[],1,4对,由(i)知,至少有一题有个女生做出,至多2个田生做出,而b,G621,[],1,11,故题数.|G|,212所以|P|,显然与(**)式矛盾.,(n为正偶数)的方格表中的某些方格标记,使得每一个方格都有一个相邻的“标n,n记格”,问至少要多少个“标记格”,略析:设是使方格表符合要求的最小标记数,现在对方格表进行相间染色,设f(n)是使所有白格都有相邻“标记格”f(n)white的最小数(标记在黑格);是使所有f(n)black黑格都有相邻“标记格”的最小数(标记在白格);则,f(n),f(n),f(n),f(n),f(n)wbwbk(k,1)f,2,4,?,k,?,3,1,,而对已b2标记的白格,它们之间没有共同相邻的黑格,因此k(k,1)f,,w2k(k,1)f,f,,f(n),k(k,1)(第43届IMO试题)设n为任意给定的正整数,T为平面上满足x+y<n,x,y为非负整数的点(x,y)所组成的集合,T中每一点(x,y)均被染成红色或蓝色,满足:若(x,y)为红////,,色,则T中所有满足xx,yy的点(x,y)均为红色,如果n个蓝点的横坐标各不相同,则称这n个蓝点所组成的集合为一个X-集;如果n个蓝点纵坐标各不相同,则称这n个蓝点所组成的集合为一个Y-:X-集的个数和Y-(n,1)0,m,略析:设红点个数为m,X-集合数目为t,Y-集合数目为s,对m,,进行2归纳证明.(1)m=0时,由乘法原理,s=t=n!,(n,1)0,k,(2)假设m=k()(3)对于m=k+1,设点P()是使最大的红点之一,那么,将P改为蓝点,由x,yx,y0000/于不存在其他红点(x,y),,因此,这仍然是一个满足条件的集合,记T,x,x,y,y00//对它类似地定义t,s./对于T,设x它在x=i()列上蓝点有个,在y=j()行上蓝点有0,i,n,10,j,n,1ai//b个,那么t,a?a,s,b?,10n,1//由归纳假设,有t=s,?a,b?b0n,10n,1t,a?a(a,1),s,b?b(b,1)对于改变前的集合T,有(在中,在bai,x0n,1x0n,1yj0i00中).j,y0a,n,x,y在列上,纵坐标大于等于的T中的点有个,所以,x,xyn,x,yx0000000a,b,n,x,yb