文档介绍：HOHAI UNIVERSITY弹性力学 Engineering Elasticity黄文雄土木工程学院力学系补充:笛卡尔张量简介§ 矢量和张量的基本概念§ 笛卡尔张量定义§ 矢量和张量的代数运算§ 张量分析初步§ 应力张量§A-1 矢量和张量基本概念自然界中的物理量,有的只需要用一个实数来描述,如温度、气压、时间、质量、能量等。这样的物理量称为标量。有些物理量包含了大小和方向等要素,需要用矢量(向量)来描述,如力、力矩、位移、速度、动量等。自然界中还有一些物理量,包含了比矢量更多的要素,如连续体中一点处的应力、应变等。这样的物理量称为张量。矢量和张量所代表的物理量本身并不依赖于坐标系而存在,但要对该物理量进行数值上的描述和分析,则常常需要引入一个适当的坐标系。在三维物理空间中一个矢量具有三个分量,一个二阶张量则有九个分量。一般地,三维空间中的一个n阶张量则有3n个分量。而标量和矢量可分别看作为零阶和一阶张量1. 矢量和张量的表述矢量和张量有两种表述方式:1)符号表述或抽象表述(Symbolic notation)2) 下标表述(index notation)张量的抽象表述不需要借助坐标系如记标量为, ,x a b, , ,A B??,D C, , ,x t c??记矢量如, , ,a b oP PQ??????????记张量如如采用抽象表述的矢量运算c? ? ?a b? ??c a b| | | || | sin??c a b| || | cosc??a b张量的抽象表述= 整体表述,与坐标选择无关在图示坐标系下一个矢量可由其三个分量表达一个二阶张量可由其9个分量表达1x3x2x1e2e3eoPx在选定的参考坐标系下,矢量和张量可以用一些分量通过基矢量表达1 2 3ox x x31 1 2 2 3 31i iia a a a?? ????a e e e ei ia?记为e3 31 1ij i ji jA? ?? ???A e eij i jA??记为e e1 2 3, ,e e e为基矢量i j?e e矢量外积、并矢张量的指标表述(Index notation):直接用带自由下标的分量表示张量整体如在坐标系下,1 2 3ox x xij i jA? ?A e eijkl i j k lD? ???e e e eD二阶张量四阶张量一阶张量i ia?a e用分量表达整体iaijAijklD( , , , {1, 2, 3})i j k l?下标张量的指标表述是依赖于坐标系的2. Einstein求和约定:重复的下标代表对这个指标从1 到3 求和31ij j ijA x b?? ??ij j iA x b?31j jjc a b?? ??j jc a b?3 31 1ijk j k ij kC x y z? ?? ???ijk j k iC x y z?3. 自由下标和哑标:考察线性方程组ij j iA x b?方程中每一项,重复的下标称为哑标,代表1 到3求和。不重复的下标为自由下标。自由下标代表遍历1、2、3。11 1 12 2 13 3 121 1 22 2 23 3 231 1 32 2 33 3 3A x A x A x bA x A x A x bA x A x A x b? ??? ??? ??用张量表示? ?A x b方程中各项自由下标必须相同。哑表可以任意替换。